Кросс модули: Модульные распределительные блоки (кросс-модули) — купить в каталоге shop220, гарантированная цена, отзывы.

Если µ:M→P\mu: M \to P — скрещенный модуль с коядром GG, а MM абелева, то операция PP на MM пропускается через GG. На самом деле на такие скрещенные модули, в которых и ММ, и РР абелевы, чихать не следует! Хорошим примером является µ:C2×C2→C4\mu: C_2 \times C_2 \to C_4, где CnC_n обозначает циклическую группу порядка nn, µ\mu инъективен в каждом факторе, а C4C_4 действует на произведение скручиванием. Этот скрещенный модуль имеет классифицирующее пространство XX с фундаментальной и второй гомотопическими группами C2C_2 и нетривиальным kk-инвариантом в h4(C2,C2)H^3(C_2, C_2), поэтому XX не является произведением пространств Эйленберга-Маклейна. Однако скрещенный модуль является алгебраической моделью, поэтому с ним можно выполнять алгебраические построения. В некотором смысле это дает лучшее ощущение пространства, чем kk-инвариант. Из высшей гомотопической теоремы Ван Кампена следует, что приведенное выше XX дает 2-тип конуса отображения отображения классифицирующих пространств BC2→BC4BC_2 \to BC_4. 9a b \in \pi_1(F) (злоупотребляя обозначениями, путая пути и их гомотопические классы). С этим действием (π1(F),π(E),π1(i))(\pi_1(F), \pi(E), \pi_1(i)) — скрещенный модуль. Это не будет здесь доказано, но это не так уж и сложно. (Конечно, втайне этот пример «на самом деле» такой же, как и предыдущий, поскольку расслоение симплициальных групп — это просто морфизм, являющийся эпиморфизмом в каждой степени, а слой, таким образом, — это просто нормальная симплициальная подгруппа. Что забавно, так это то, что что это обобщается на «высшие измерения».)

Частный случай этого последнего примера может быть получен из включения подпространства A→XA\to X в точечное пространство (X,x0)(X,x_0), (где предполагается, что x0∈Ax_0\in A). 2_\lambda\} _ {\ lambda \in \Lambda},A,x) \to \pi_1(A,x)

— модуль свободного пересечения на картах характеристик 22-ячеек. Одна из полезных функций этого метода заключается в том, что он позволяет выразить идеи неабелевых цепей и границ в измерениях 11 и 22: так, для стандартного изображения бутылки Клейна, образованного отождествлениями с квадратом σ\sigma, формула

δσ=a+b− a+b\delta\sigma = a+b-a +b

имеет смысл с σ\sigma генератором свободного скрещенного модуля; в обычной теории абелевых цепей мы можем написать только ∂σ=2b\partial \sigma =2b, теряя при этом информацию.

Доказательство этой теоремы Уайтхедом использовало теорию узлов и трансверсальность. Теорема также является следствием 22-мерной теоремы Зейферта-ван Кампена, доказанной Брауном и Хиггинсом, которая утверждает, что функтор

Π2\Pi_2: (пары точечных пространств) →\to (перекрещенные модули)

сохраняет определенные копределы (см. ссылку ниже).

Этот последний пример был одним из первых, исследованных Уайтхедом, и его доказательство также содержится в небольшой книге Хилтона; см. также неабелеву алгебраическую топологию, однако более общий результат Брауна и Хиггинса определяет также группу π2(X∪CA,X,x)\pi_2(X \cup CA,X,x) как скрещенную π1(X,x) \pi_1(X,x), а затем результат Уайтхеда: случай с AA представляет собой клин из кругов.

• группа

• 2-х групповый, перекрестный модуль , дифференциальный перекрестный модуль

• 3-х групповый, 2-х перекрестный модуль / перекрестный квадрат, дифференциальный 2-х перекрестный модуль

• н-группа

• ∞-группа, симплициальная группа, скрещенный комплекс, гиперскрещенный комплекс

Литература

Вторая аксиома для скрещенного модуля впервые появилась в сноске 35 на с. 422 статьи Уайтхеда:

• Дж.Х.К. Уайтхед, О добавлении отношений к гомотопическим группам. Анна. математики. (2) 42 (1941) 409–428.

Раздел 16 следующей статьи

• J. H. C. Whitehead, Combinatorial Homotopy II , Bull. амер. Мат. Soc., 55 (1949), 453–496.

доказали ключевой результат на «Модули со свободным скрещиванием». Изложение этого доказательства находится в

• R. Brown, О второй относительной гомотопической группе присоединенного пространства: изложение теоремы Дж.Х.К. Уайтхед , J. London Math. Soc._ (2) 22 (1980) 146-152 (doi:10.1112/jlms/s2-22.1.146)

см. также

• Peter J. Hilton, An Introduction to Homotopy Theory , Cambridge University Press, 1953.

Обратите внимание, что геометрическое ядро ​​доказательства использует теорию узлов и аргументы трансверсальности, взятые из «предыдущей статьи» Уайтхеда:

• О добавлении соотношений к гомотопическим группам 428.

Следующая статья

• Ронни Браун, Филип Хиггинс, О связях между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых связанных пространств , Proc. Лондонская математика. соц. (3) 36 (1978) 193-212. 1-группам, а к «двойным группоидам со связностями», также доказано со Спенсером. Полная информация и ссылки находятся в части I:
  • Ронни Браун, Филип Хиггинс и Р. Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , EMS Tracts in Mathematics, Vol. 15, (2011).

  См. также

  • Ронни Браун, Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии , Гомология, гомотопия и приложения, 1 (1999) 1-78.

  • Георгий Джанелидзе, Внутренние перекрестные модули , Грузинский математический журнал 10 (2003), стр. 99–114. (ЕСДМЛ)

  Для более широкого использования скрещенных модулей в других алгебраических контекстах см., например,

  • A. S-T. Lue, Когомологии групп относительно многообразия , J. Algebra 69 (1) (1981) 155–174.

  Последняя редакция: 18 октября 2021 г. , 03:02:48. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.

  2-перекрестный модуль в nLab

  Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

  Содержание

  Контекст

  Теория высших категорий

  Теория высших категорий

  • Теория категорий
  • гомотопическая теория

  Основные понятия

  • k-морфизм, когерентность
  • зацикливание и удаление циклов
  • петля и подвес

  Основные теоремы

  • гомотопическая гипотеза-теорема
  • гипотеза-теорема о раскрытии петли
  • периодическая таблица
  • гипотеза стабилизации-теорема
  • гипотеза точности
  • голографический принцип

  Приложения

  • приложения (высшей) теории категорий
  • высшая категория теория и физика

  Модели

  • (n,r)-категория
    • Тета-пространство
    • ∞-категория/∞-категория
    • (∞,n)-категория
      • n-кратное полное пространство Segal
    • (∞,2)-категория
    • (∞,1)-категория
      • квазикатегория
        • алгебраическая квазикатегория
      • просто обогащенная категория
      • полный Segal space
      • категория модели
    • (∞,0)-категория/∞-группоид
      • Комплекс Кан
        • алгебраический комплекс Кана
        • симплициальный Т-комплекс
    • n-категория = (n,n)-категория
      • 2-категория, (2,1)-категория
      • 1-категория
      • 0-категория
      • (-1)-категория
      • (-2)-категория
    • n-посет = (n-1,n)-категория
      • poset = (0,1)-категория
      • 2-посет = (1,2)-категория
    • n-группоид = (n,0)-категория
      • 2-группоид, 3-группоид
  • категоризация/декатегоризация
  • геометрическое определение высшей категории
    • Комплекс Кан
    • квазикатегория
    • симплициальная модель для слабых ∞-категорий
      • комплект
      • слабый комплиментарный набор
  • алгебраическое определение высшей категории
    • бикатегория
    • бигруппоид
    • три категории
    • тетракатегория
    • строгая ∞-категория
    • Батанин ∞-категории
    • Trimble ∞-категория
    • Grothendieck-Maltsiniotis ∞-категории
  • стабильная гомотопическая теория
    • симметричная моноидальная категория
    • симметричная моноидальная (∞,1)-категория
    • стабильная (∞,1)-категория
      • dg-категория
      • Категория А-∞
      • триангулированная категория

  Морфизмы

  • k-морфизм
    • 2-морфизм
  • трансформ
    • естественная трансформация
    • модификация

  Функторы

  • Функторы
  • 2-функтор
    • псевдофунктор
    • функтор слабости
  • (∞,1)-функтор

  Универсальные конструкции

  • 2-концевые
  • (∞,1)-присоединение
  • (∞,1)-расширение Кан
    • (∞,1)-предел
  • (∞,1)-конструкция Гротендика
  • космический куб
    • k-тупый моноидальный n-категории
    • строгая ∞-категория, строгий ∞-группоид
  • стабильная (∞,1)-категория
  • (∞,1)-топос

  1-категориальные презентации

  • гомотопическая категория
  • теория категорий моделей
  • теория обогащенных категорий

  Изменить эту боковую панель

  Гомологическая алгебра

  Гомологическая алгебра

  (также неабелева гомологическая алгебра)

  Введение

  Контекст

  3
  3 3

  аддитивные и абелевы категории

  • Абобогащенная категория

  • преаддитивная категория

  • категория добавок

  • предабелева категория

  • абелева категория

  • Категория Гротендика

  • абелевых пучка

  • полуабелева категория

  Основные определения

  • ядро

    , кокернел

  • комплекс

    • дифференциал

    • гомологии

  • категория цепных комплексов

    • цепной комплекс

    • цепная карта

    • цепная гомотопия

  • цепные гомологии и когомологии

    • квазиизоморфизм

    • гомологическое разрешение

    • симплициальные гомологии

    • обобщенные гомологии

  • точная последовательность,

    • короткая точная последовательность, длинная точная последовательность, разделенная точная последовательность

  • инъективный объект, проективный объект

    • инъективное разрешение, проективное разрешение

    • плоское разрешение

  Понятия стабильной теории гомотопий

  • производная категория

  • триангулированная категория, расширенная триангулированная категория

  • стабильная (∞,1)-категория

    • стабильная модель категории

    • предварительно триангулированная dg-категория

    • A-∞-категория

  • (∞,1)-категория цепных комплексов

  • производный функтор, производный функтор в гомологической алгебре

    • Тор, Доб.

    • гомотопический предел, гомотопический копредел

  • когомологии абелевых пучков

  Конструкции

  • двухместный комплекс

  • Разрешение Козуль-Тейт, комплекс БРСТ-БВ

  • спектральная последовательность

    • спектральная последовательность отфильтрованного комплекса

    • спектральная последовательность двойного комплекса

    • Спектральная последовательность Гротендика

      • Спектральная последовательность Лере

      • Спектральная последовательность Серра

      • Спектральная последовательность Хохшильда-Серра

  Леммы

  погоня за диаграммами

  • 3×3 лемма

  • четыре леммы, пять лемм

  • лемма о змее, соединяющая гомоморфизм

  • лемма о подкове

  • Критерий Бэра

  Лемма Шенуэля

  Теории гомологии

  • сингулярные гомологии

  • циклическая гомология

  Теоремы

  • Дольд-Кан корреспонденция / моноидальная, оперная

    • Комплекс Мура, карта Александра-Уитни, карта Эйленберга-Зильбера

  • Теорема Эйленберга-Зильбера

    • коцепь на симплициальном множестве

  • теорема об универсальном коэффициенте

  • Теорема Кюннета

  • Идея
  • Определение
  • Замечания
  • Примеры
  • От симплициальных групп к 2-перекрещенным модулям
  • От скрещенных квадратов к 2-скрещенным модулям
  • Связанные понятия
  • Каталожные номера:

  Идея

  2-скрещенный модуль кодирует полустрогую 3-группу — группу Грея — в обобщении того, как скрещенный модуль кодирует строгую 2-группу.

  Симплициальная группа, комплекс Мура которой имеет длину 11 (то есть не более чем материал размерностей 00 и 11), будет внутренним нервом строгой 22-группы, а комплекс Мура будет соответствующим скрещенным модулем. Что, если у нас есть симплициальная группа, чей комплекс Мура имеет не более чем размерности 00, 11 и 22; Можем ли мы описать его структуру аналогичным образом? Да, и Кондюше дал точное описание задействованной структуры. Из структуры можно восстановить симплициальную группу, тип внутренней 22-нервной конструкции.

  Другими словами, 22-перекрещенный модуль есть комплекс Мура 22-усеченной симплициальной группы.

  Определение

  A 22-перекрестный модуль является нормальным комплексом групп N,

  вместе с действием NN на все три группы и отображением

  {−,−}:M×M→L\{ — ,- \} : M\times M \to L

  такое, что

  1. действие NN на себя сопряжено, а ∂2\partial_2 и ∂1\partial_1 NN-эквивариантны; 9{n}m_1\}.

  Спаривание {−,−}:M×M→L\{ — ,- \} : M\times M \to L часто называют подъемом Пайффера 22-перекрещенного модуля.

  • В 22-перекрестном модуле, как указано выше, структура ∂2:L→M\partial_2: L\to M является перекрестным модулем, но ∂1:M→N\partial_1: M\to N может не быть единицей, так как Тождество Пайффера не требуется. Коммутатор Пайффера ? , который измеряет несостоятельность этого тождества, может быть нетривиальным, но он будет граничным элементом, а подъем Пайффера дает структурированный способ получения элемента в LL, который отображается на него.

  • Иногда полезно рассматривать скрещенный модуль как скрещенный комплекс длины 1 (т. е. только при, возможно, нетривиальном морфизме). Точно так же можно рассматривать 2-перекрестный модуль как частный случай 2-перекрестного комплекса. Такой гаджет интуитивно представляет собой 2-скрещенный модуль с «хвостом», который представляет собой цепной комплекс модулей над π0\pi_0 базового 2-скрещенного модуля, так же как скрещенный комплекс представляет собой скрещенный модуль вместе с «хвостом». ‘.

  • Квадратичный модуль, разработанный Х.-Дж. Бауэса, является частным случаем 2-скрещенного модуля, удовлетворяющего условиям нильпотентности на уровне лежащего в основе предварительно скрещенного модуля (который максимально близок к тому, чтобы быть скрещенным модулем). Фундаментальный квадратичный модуль CW-комплекса дает эквивалентность категорий между категорией точечных 3-типов и категорией квадратичных модулей.

  • Функториальный фундаментальный 2-скрещенный модуль CW-комплекса также может быть определен с помощью фундаментального скрещенного квадрата Грэма Эллиса CW-комплекса; это объясняется в статье Жоао Фариа Мартинша ниже. Мы также можем определить этот фундаментальный 2-перекрестный модуль CW-комплекса, используя фундаментальную симплициальную группу Кана CW-комплекса и применяя обычное отражение от симплициальных групп к симплициальным группам комплекса Мура длины два, известное как эквивалентно 2-перекрещенным модулям.

  • К гомотопической теории 2-перекрещенных модулей можно обратиться, отметив, что 2-перекрещенные модули, индуцирующие рефлексивную подкатегорию категории симплициальных групп, наследуют естественную структуру модели Квиллена, как описано в статье Кабельо и Гарсона ниже. Версия, очень близкая к обычной гомотопической теории скрещенных комплексов, была развита в статье Жоао Фариа Мартинса ниже параллельно гомотопической теории квадратичных модулей и квадратичных комплексов, введенной Х. Дж. Бауэсом.

  Примеры

  Любой скрещенный модуль, G2→δG1 G_2 \stackrel{\delta}{\to}{G_1} дает 2-перекрещенный модуль, L→∂2M→∂1N,L\stackrel{\partial_2}{\to} M \stackrel{\partial_1}{\to}N, установив L=1L = 1, тривиальная группа , и, конечно же, M=G2M = G_2, N=G1N = G_1. И наоборот, любой 2-скрещенный модуль, имеющий тривиальную группу высших измерений (L=1L=1), «является» скрещенным модулем. Это дает включение категории скрещенных модулей в категорию 2-скрещенных модулей в качестве отражающей подкатегории.

  Отражение дается замечанием, что если

  L⟶∂2M⟶∂1NL\stackrel{\partial_2}{\longrightarrow} M \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow}N

  является 2-пересекающимся модулем , то Im∂2Im\, \partial_2 — нормальная подгруппа в MM, и тогда на

  ∂1:MIm∂2→N. \partial_1 : \frac{M}{Im\, \partial_2} \to N.

  Но мы можем сделать лучше. В более общем случае пусть

  …→1→1→C3⟶∂3C2⟶∂2C1,\ldots\to 1 \to 1 \to C_3\stackrel{\partial_3}{\longrightarrow} C_2 \stackrel{\partial_2}{\ longrightarrow}C_1,

  — усеченный скрещенный комплекс (групп), в котором все члены более высокой размерности тривиальны, тогда взятие L=C3L = C_3, M=C2M = C_2 и N=C1N = C_1 с тривиальным подъемом Пайффера дает 2- перекрестный комплекс. Обратно, предположим, что у нас есть 2-перекрестный модуль с тривиальным подъемом Пайффера: {m1,m2}=1\{m_1,m_2\} = 1 для всех m1m_1, m2∈Mm_2 \in M, тогда аксиома 3 показывает, что LL является абелевой группа, и аналогичным образом другие аксиомы могут быть проанализированы, чтобы показать, что результатом является усеченный скрещенный комплекс.

  Это дает:

  Предложение

  Категория Crs2]Crs_{2]} скрещенных комплексов длины 2 эквивалентна полной подкатегории 2-CMod2-CMod, заданной этими 2-скрещенными модулями с тривиальным подъемом Пайффера.

  Конечно, получившееся «включение» имеет левое сопряжение, что очень интересно проверить! (Вы убираете подгруппу LL, порожденную подъемом Пайффера, …. и все?)

  От симплициальных групп к 2-перекрещенным модулям

  Если GG — симплициальная группа, то

  𝒩G2d0(𝒩G3)→𝒩G1→𝒩G0,\frac{\mathcal{N}G_2}{d_0(\mathcal{N}G_3)} \to \mathcal{N}G_1\to \mathcal{N}G_0,

  — это 2-перекрестный модуль. (Приглашаем вас найти подъем Пайффера!)

  От скрещенных квадратов к 2-скрещенным модулям

  Как скрещенные квадраты, так и 2-скрещенные модули моделируют все связанные гомотопические 3-типы, поэтому естественно возникает вопрос, как перейти от одного описания к Другой. Перейти от перечеркнутых квадратов к 2-перекрещенным модулям легко, поэтому будет дано здесь (вернуться сложнее). 9{-1},\lambda)}{\longrightarrow}M\rtimes N\stackrel{\mu\nu}{\longrightarrow}P

  является комплексом с 2 пересечениями.

  (И да, на самом деле это гомоморфизмы групп: (µ,ν)(m,n)=µ(m)ν(n)(\mu,\nu)(m,n) = \mu(m) \nu(n), произведение двух элементов! Попробуйте!)

  Полный результат и объяснение того, что здесь происходит, приведены в

  • D. Conduché, Simplicial Crossed Modules and Mapping Cones , Грузинская математика. Дж., 10, (2003), 623–636

  • группа

  • 2-групповый, перекрестный модуль, дифференциальный перекрестный модуль

  • 3-х групповый, 2-х перекрестный модуль / перекрестный квадратный, дифференциальный 2-х перекрестный модуль

  • н-группа

  • ∞-группа, симплициальная группа, скрещенный комплекс, гиперскрещенный комплекс

  Каталожные номера:

  • HJ Baues: Комбинаторная гомотопия и 44-мерные комплексы. С предисловием Рональда Брауна. de Gruyter Expositions in Mathematics, 2. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1991.

  • Джулия Г. Кабельо, Антонио Р. Гарсон: Теория Квиллена для алгебраических моделей nn-типов . Экстракт Математика. 9 (1994), вып. 1, 42–47. (ЕСДМЛ)

  • П. Карраско и Т. Портер, Копроизведение двух скрещенных модулей.