Расчет мощности формула: Расчет мощности по току и напряжению

Сила, действующая на тело – сила тяжести. Она направлена по оси Y, выражение для ее проекции на ось Y запишем как:

В начальный момент времени тело имело скорость равную нулю, тогда скорость тела в проекции на ось Y можно вычислить, используя выражение:

где v₀=0.

Найдем момент времени, в который тело окажется на половине высоты (y=h/2), применим уравнение, которое описывает равноускоренное движение (из начальных условий y₀=0, v₀=0):

Читать дальше: Формула плотности вещества.

Мощность электрического тока — Основы электроники

Обычно электрический ток сравнивают с течением жид­кости по трубке, а напряжение или разность потенциалов — с разностью уровней жидкости.

В этом случае поток воды, падающий сверху вниз, несет с собой определенное количество энергии. В усло­виях свободного падения эта энергия растрачивается беспо­лезно для человека. Если же направить падающий поток во­ды на лопасти турбины, то последняя начнет вращаться и сможет производить полезную работу.

Работа, производимая потоком воды в течение определен­ного промежутка времени, например, в течение одной секун­ды, будет тем больше, чем с большей высоты падает поток и чем больше масса падающей воды.

Точно так же и электрический ток, протекая по цепи от высшего потенциала к низшему, совершает работу. В каждую данную секунду времени будет совершаться тем больше рабо­ты, чем больше разность потенциалов и чем большее количе­ство электричества ежесекундно проходит через поперечное сечение цепи.

Мощность электрического тока это количество работы, совершаемой за одну секунду времени, или скорость совершения работы.

Количество электричества, проходящего через поперечное сечение цепи в течение одной секунды, есть не что иное, как сила тока в цепи. Следовательно, мощность электрического тока будет прямо пропорциональна разности потенциалов (на­пряжению) и силе тока в цепи.

Для измерения мощности электрического тока принята еди­ница, называемая ватт (Вт).

Мощностью в 1 Вт обладает ток силой в 1 А при разности потенциалов, равной 1 В.

Для вычисления мощности постоянного тока в ваттах нуж­но силу тока в амперах умножить на напряжение в вольтах.

Если обозначить мощность электрического тока буквой P, то приведенное выше правило можно записать в виде формулы

P = I*U. (1)

Воспользуемся этой формулой для решения числового при­мера. Требуется определить, какая мощность электрического тока необходима для накала нити радиолампы, если напряжение накала равно 4 в, а ток накала 75 мА

Определим мощность электрического тока, поглощаемую нитью лампы:

Р= 0,075 А*4 В = 0,3 Вт.

Мощность электрического тока можно вычислить и другим путем. Предположим, что нам известны сила тока в цепи и сопротивление цепи, а напряжение неизвестно.

В этом случае мы воспользуемся знакомым нам соотноше­нием из закона Ома:

U=IR

и подставим правую часть этого равенства (IR) в формулу (1) вместо напряжения U.

Тогда формула (1) примет вид:

P = I*U =I*IR

или

Р = I²*R. (2)

Например, требуется узнать, какая мощность теряется в реостате сопротивлением в 5 Ом, если через него проходит ток, силой 0,5 А. Пользуясь формулой (2), найдем:

P= I²*R = (0,5)²*5 =0,25*5 = 1,25 Вт.

Наконец, мощность электрического тока может быть вычислена и в том слу­чае, когда известны напряжение и сопротивление, а сила тока неизвестна. Для этого вместо силы тока I в формулу (1) подставляется известное из закона Ома отношение U/R и тогда формула (1) приобретает следующий вид:

Р = I*U=U²/R (3)

Например, при 2,5 В падения напряжения на реостате сопро­тивлением в 5 Ом поглощаемая реостатом мощность будет равна:

Р = U²/R=(2,5)²/5=1,25 Вт

Таким образом, для вычисления мощности требуется знать любые две из величин, входящих в формулу закона Ома.

Мощность электрического тока равна работе электрического тока, производимой в течение одной секунды.

P = A/t

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

формула, расчёт силы тока, напряжения и сопротивления

Безаварийная работа устройства зависит от соответствия технических характеристик прибора нормам питающей сети. Зная напряжение, сопротивление и силу тока в цепи, электрик поймёт, как найти мощность. Формула расчёта важного параметра зависит от свойств сети, в которую подключается потребитель.

Труд электричества

Механические устройства и электрические приборы предназначены для выполнения работы. Согласно второму закону Ньютона, кинетическая энергия, которая воздействует на материальную точку в течение определённого промежутка времени, совершает полезное действие. В электродинамике поле, созданное разностью потенциалов, переносит заряды на участке электрической цепи.

Объём, производимой током работы, зависит от интенсивности электричества. В середине XIX века Д. П. Джоуль и Э. Х. Ленц решали одинаковую проблему. В проводимых опытах кусок проволоки с высоким сопротивлением разогревался, когда через него пропускался ток. Учёных интересовал вопрос, как вычислить мощность цепи. Для понимания процесса, происходящего в проводнике, следует ввести следующие определения:

• P — мощность.
• A — работа, совершаемая зарядом в электрической цепи.
• U — падение напряжения в проводнике.
• I — сила тока.
• Q — количество электрических зарядов, переносимых в единицу времени.

Мощность — это работа, производимая током в проводнике за какой-то временной период. Утверждение описывает формула: P = A ∕ ∆t.

На участке цепи разность потенциалов в точках a и b совершает работу по перемещению электрических зарядов, которая определяется уравнением: A = U ∙ Q. Ток представляет собой суммарный заряд, прошедший в проводнике за единицу времени, что математически выражается соотношением: U ∙ I = Q ∕ ∆t. После преобразований получается формула мощности электрического тока: P = A ∕ ∆t = U ∙ Q ∕ ∆t = U ∙ I. Можно утверждать, что в цепи проводится работа, которая зависит от мощности, определяемой током и напряжением на контактах подключённого электрического устройства.

Производительность постоянного тока

В линейной цепи без конденсаторов и катушек индуктивности соблюдается закон Ома. Немецкий учёный обнаружил взаимосвязь тока и напряжения от сопротивления цепи. Открытие выражается уравнением: I = U ∕ R. При известном значении сопротивления нагрузки мощность вычисляется двумя способами: P = I ² ∙ R или P = U ² ∕ R.

Если ток в цепи течёт от плюса к минусу, то энергия сети поглощается потребителем. Такой процесс проистекает при зарядке аккумуляторной батареи. Если движение тока совершается в противоположном направлении, то мощность отдаётся в электрическую цепь. Так происходит в случае питания сети от работающего генератора.

Мощность переменной сети

Расчёт переменных цепей отличается от вычисления параметра производительности в линии постоянного тока. Это связано с тем, что напряжение и ток изменяются во времени и по направлению.

В цепи со сдвигом фаз тока и напряжения, рассматриваются следующие виды мощности:

1. Активная.
2. Реактивная.
3. Полная.

Активный компонент

Активная часть полезной мощности учитывает скорость невозвратного преобразования электричества в тепловую или магнитную энергию. В линии тока с одной фазой активная составляющая вычисляется по формуле: P = U ∙ I ∙ cos ϕ.

В международной системе единиц СИ величина производительности измеряется в ваттах. Угол ϕ определяет смещение напряжения по отношению к току. В трёхфазной цепи активная часть складывается из суммы мощностей каждой отдельной фазы.

Реверсивные потери

Для работы конденсаторов, катушек индуктивности, обмоток электродвигателей затрачивается сила сети. Из-за физических свойств таких устройств энергия, которая определяется реактивной мощностью, возвращается в цепь. Величина отдачи рассчитывается при помощи уравнения: V = U ∙ I ∙ sin ϕ.

Единицей измерения принят ватт. Возможно использование внесистемной меры подсчёта var, название которой составлено из английских слов volt, amper, reaction. Перевод на русский язык соответственно означает «вольт», «ампер», «обратное действие».

Если напряжение опережает ток, то смещение фаз считается больше нуля. В противном случае сдвиг фаз отрицательный. В зависимости от значения sin ϕ реактивная составляющая носит положительный или отрицательный характер. Присутствие в цепи индуктивной нагрузки позволяет говорить о реверсивной части больше нуля, а подключённый прибор потребляет энергию. Использование конденсаторов делает реактивную производительность минусовой, и устройство добавляет энергию в сеть.

Во избежание перегрузок и изменения установленного коэффициента мощности в цепи устанавливаются компенсаторы. Такие меры снижают потери электроэнергии, понижают искажения формы тока и позволяют использовать провода меньшего сечения.

В полную силу

Полная электрическая мощность определяет нагрузку, которую потребитель возлагает на сеть. Активная и реверсивная составляющие объединяются с полной мощностью уравнением: S = √ (P ² + V ²).

С индуктивной нагрузкой показатель V ˃ 0, а использование конденсаторов делает V ˂ 0. Отсутствие конденсаторов и катушек индуктивности делает реактивную часть равной нулю, что возвращает формулу к привычному виду: S = √ (P ² + V ²) = √ (P ² + 0) = √ P ² = P = U ∙ I. Полная мощность измеряется внесистемной единицей «вольт-ампер». Сокращённый вариант — В ∙ А.

Критерий полезности

Коэффициент мощности характеризует потребительскую нагрузку с точки зрения присутствия реактивной части работы. В физическом смысле параметр определяет сдвиг тока от приложенного напряжения и равен cos ϕ. На практике это означает количество тепла, выделяемого на соединительных проводниках. Уровень нагрева способен достигать существенных величин.

В энергетике коэффициент мощности обозначается греческой буквой λ. Диапазон изменения от нуля до единицы или от 0 до 100%. При λ = 1 подаваемая потребителю энергия расходуется на работу, реактивная составляющая отсутствует. Значения λ ≤ 0,5 признаются неудовлетворительными.

Безотказная работа приборов в электрической линии обусловлена правильным расчётом технических параметров. Найти мощность тока в цепи помогает набор формул, выведенных из законов Джоуля — Ленца и Ома. Принципиальная схема, грамотно составленная с учётом особенностей применяемых устройств, повышает производительность электросети.

Формула мощности по току и напряжению схемы

Пожаловалась бабушка соседка снизу: подарили мне дети моющий пылесос. Он прекрасно работает, но откуда-то идет запах гари.

Пошел смотреть. Проводка у нас старая: лапша из алюминия 2,5 квадрата. А пылесос потребляет 2,5 kW. Прикинул, как работает формула расчета мощности по току и напряжению для этого случая.

Разделил 2500 ватт на 220 вольт. Получил чуть больше 11 ампер. Наши провода держат нагрузку 22 А. Имеем практически двойной резерв по току. Другие потребители при уборке отключены.

Стали проверять и нюхать: запах около квартирного щитка. Открыл, осмотрел: шина сборки ноля в саже, на одной перемычке горелая изоляция. Винт крепления ослаблен. Вот и причина начала возгорания. Исправил.

На этом примере я показываю, что всегда надо оценивать мощность потребления электроприборов и возможности проводки с защитными устройствами. Об этом рассказываю ниже.

Содержание статьи

Что такое мощность в электричестве: просто о сложном

Вспомнилась былина об Илье Муромце, когда он приложил всю свою мощь к соловью разбойнику. У бедолаги сразу посыпались искры из глаз, как пламя с верхней картинки на проводке с неправильным монтажом.

Простыми словами: мощность в электричестве — это силовая характеристика энергии, которой оценивают, как способности генераторных установок ее вырабатывать, так возможности потребителей и транспортных магистралей.

Все эти участки должны быть точно смонтированы и налажены для обеспечения безопасной работы. Как только в любом месте возникает неисправность, так сразу развивается авария во всей схеме.

Если говорить о домашнем электрическом оборудовании, то приходится постоянно соблюдать баланс между:

1. включенными в сеть приборами;
2. конструкцией проводов и кабелей;
3. настройкой защитных устройств.

Только комплексное решение этих трех вопросов может обеспечить безопасность проводки и жильцов.

Как рассчитать электрическую мощность в быту

Формулы расчета мощности в электричестве позволяют выполнить качественную оценку безопасности каждого из перечисленных выше пунктов.

Пользоваться ими не сложно. Я уже приводил в предыдущих статьях шпаргалку электрика, где они помещены в наглядной форме для цепей постоянного тока.

Они полностью справедливы для активной составляющей мощности переменного тока, совершающей полезную работу. Кстати, кроме нее есть еще и бесполезная — реактивная, связанная с потерями энергии. Ее описанию посвящен второй раздел.

Такие вычисления удобно делать с помощью онлайн калькулятора. Он избавляет от рутинных математических вычислений и арифметических ошибок.

При любом из способов для расчета активной мощности требуется знать две из трех электрических величин:

1. силу тока I;
2. приложенное напряжение U;
3. сопротивление участка цепи R.

Как измерить электрическую мощность дома

Существует еще одна возможность оценки активной мощности: ее измерение в действующей схеме специальными приборами: ваттметрами.

Точные замеры может обеспечить промышленный лабораторный ваттметер. Он изготавливается как прибор, работающий на аналоговых сигналах,так и с помощью цифровых технологий.

В бытовой проводке точные вычисления не нужны. Для нее выпускаются различные виды более простых ваттметров.

Популярностью пользуются приборы, которые можно вставить в розетку и подключить к ним шнур питания от потребителя, включить их в работу и сразу снять показания на дисплее в ваттах.

Их так и называют: ваттметр розетка. Они измеряют чисто активную мощность переменного тока.

Такие приборы избавляют электрика от выполнения сложных операций под напряжением, когда требуется замерять:

• действующее напряжение;
• силу тока;
• угол сдвига фаз между векторами тока и напряжения.

Потом все данные дополнительно требуется вводить в формулу расчета мощности по току и напряжению, делать по ней вычисления.

Этот метод можно упростить, если внимательно наблюдать за показаниями электрического счетчика индукционной системы с вращающимся диском. Он считает совершенную работу: потребленную мощность за определенную время.

Однако скорость вращения диска как раз и характеризует величину потребления. Надо просто посчитать сколько раз он обернется за минуту и перевести в ватты по табличке, расположенной на корпусе.

Почему реактивное сопротивление схемы влияет на мощность переменного тока

Синусоидальная гармоника напряжения, поступая на резистивное сопротивление, изменяет величину тока без его отклонения на комплексной плоскости.

Такой ток совершает полезную работу с минимальными потерями энергии, вырабатывая активную мощность. Частота колебания сигнала не оказывает на нее никакого влияния.

Сопротивление конденсатора и индуктивности зависит от частоты гармоники. Его противодействие отклоняет направление тока на каждом из этих элементов в разные стороны.

Такие процессы связаны с потерей части энергии на бесполезные преобразования. На них расходуется мощность Q, которую называют реактивной.Ее влияние на полную мощность S и связь с активной P удобно представлять графически прямоугольным треугольником.

Захотелось его нарисовать на фоне оборудования из нагромождений фарфора и металла, где пришлось поработать довольно долго.Отвлекся. Не судите за это строго.

Сравните его с опубликованным мною ранее треугольником сопротивлений. Находите общие черты?

Ими являются геометрические пропорции фигуры, описывающие их формулы и угол φ, определяющий потери полной мощности. Перехожу к их более подробному рассмотрению.

Формулы расчета мощности для однофазной и трехфазной схемы питания

В идеальном теоретическом случае трехфазная схема состоит из трех одинаковых однофазных цепей. На практике всегда есть какие-то отклонения. Но, в большинстве случаев при анализах ими пренебрегают.

Поэтому рассматриваем вначале наиболее простой вопрос.

Графики и формулы под однофазное напряжение

Как работает резистор

На чисто резистивном сопротивлении синусоиды тока и напряжения совпадают по углу, направлены на каждом полупериоде одинаково.Поэтому их произведение, выражающее мощность, всегда положительно.

Его значение в произвольный момент времени t называют мгновенным, обозначая строчной буквой p.

Среднее значение мощности в течение одного периода называют активной составляющей. Ее график для переменного тока имеет фигуру симметричного всплеска с максимальным значением Pm в середине каждого полупериода Т/2.

Если взять половину его величины Pm/2 и провести прямую линию в течении одного периода Т, то получим прямоугольник с ординатой P.

Его площадь равна двум площадям графиков активной составляющих одного любого полупериода. Если посмотреть на картинку внимательнее, то можно представить, что верхняя часть всплеска отрезана,перевернута и заполнила свободное пространство внизу.

Представление этого графика помогает запомнить, что на активном сопротивлении мощность постоянного и переменного тока вычисляется по одной формуле, не меняет своего знака.

График мгновенных значений активной мощности переменного тока на резистивном сопротивлении имеет вид повторяющихся положительных волн. Но за один период им совершается такая же работа, как и в цепях постоянного тока и напряжения.

На резисторе не создается реактивных потерь.

Как работает индуктивность

Катушка с обмоткой своими витками запасает энергию магнитного поля. Благодаря процессу ее накопления индуктивное сопротивление отодвигает вперед на 90 градусов вектор тока относительно приложенного напряжения на комплексной плоскости.

Перемножая их мгновенные величины получаем значения мощности, которое за один период меняет знаки (направление) в каждом полупериоде.

Частота изменения мощности на индуктивности в два раза выше,чем у ее составляющих: синусоид тока и напряжения. Она состоит из двух частей:

1. активной, обозначаемой индексом PL;
2. реактивной QL.

Реактивная часть на индуктивности создается за счет постоянного обмена энергией между катушкой и приложенным источником. На ее величину влияет значение индуктивного сопротивления XL.

Как работает конденсатор

Емкость конденсатора постоянно накапливает заряд между своими обкладками. За счет этого происходит сдвиг вектора тока вперед на 90 градусов относительно приложенного напряжения.

График мгновенной мощности напоминает вид предыдущего, но начинается с отрицательной полуволны.

Реактивная составляющая, выделяемая на конденсаторе, зависит от величины емкостного сопротивления XC.

Как работает реальная схема со всеми видами сопротивлений

В чистом виде приведенные выше графики и выражения встречаются не так часто. На самом деле передача электроэнергии и ее работа на переменном токе связаны с комплексным преодолением сил электрического сопротивления резисторов, конденсаторов и индуктивностей.

Причем, какая-то из этих составляющих будет преобладать. Для таких случаев преобразования электрической энергии в мгновенную мощность могут иметь один из следующих видов.

На верхней картинке показан случай, когда вектор тока отстает от приложенного напряжения, а на нижней — опережает.

В обоих случаях величина активной составляющей уменьшается от значения полной на значение, выражаемое как cosφ. Поэтому его принято называть коэффициентом мощности.

Косинус фи (cosφ) используется при анализе треугольника мощностей и сопротивлений, характеризует потери энергии.

Как работает схема трехфазного электроснабжения

На ввод распределительного щита многоэтажного здания поступает трехфазное напряжение от электроснабжающей организации, вырабатываемое промышленными генераторами.

Его же, за отдельную плату, при желании может подключить владелец частного дома, что многие и делают. При этом рабочая схема и диаграмма напряжений выглядит следующим образом.

В старой системе заземления TN-C она выполняется четырехпроводным подключением, а у новой TN-S — пятипроводным с добавлением защитного РЕ проводника. Его на этой схеме я не показываю для упрощения.

Каждую из фаз при работе необходимо стараться нагружать одинаково равными по величине токами. Тогда в домашней проводке будет создаваться наиболее благоприятный оптимальный режим без опасных перекосов энергии.

В этом случае формула расчета мощности по току и напряжению для трехфазной схемы может быть представлена простой суммой аналогичных формул для составляющих однофазных цепей.

А поскольку они все идентичные, то их просто утраивают.

Например, когда активная мощность фазы В имеет выражением Рв=Uв×Iв×cosφ, то для всей трехфазной схемы она будет выражена следующей формулой:

Р = Рa+Рв+Рc

Если пометить фазное выражение буквой ф. например Pф, томожно записать:

P = 3Pф = 3Uф×Iф×cosφ

Аналогично будет вычисляться реактивная составляющая

Q = Qa+Qв+Qc

Или

Q = 3Qф = 3Uф×Iф×sinφ

Поскольку P и Q представляют величины катетов прямоугольного треугольника, то гипотенузу или полную составляющую можно вычислить как квадратный корень из суммы их квадратов.

S = √(P2+Q2)

Как учитывается трехфазная полная мощность

В энергосистеме, да и в частном доме, требуется анализировать подключенные нагрузки, равномерно распределять их по источникам напряжений.

С этой целью работают многочисленные конструкции измерительных приборов. На щитах управления подстанций расположены щитовые ваттметры и варметры, предназначенные для работы в разных долях кратности.

Старые аналоговые приборы показаны на этой картинке.

Для того, чтобы не путаться в записях вычислений введены разные наименования единиц. Они обозначаются:

• ВА — (русское), VA (международное) вольтампер для полной величины мощности;
• Вт —(русское), var (международное) ватт —активной;
• вар (русское), var (международное) — реактивной.

Аналоговые приборы измеряют только активную или реактивную составляющую, а полную величину необходимо вычислять по формулам.

Многие современные цифровые приборы способны осуществлять эту функцию автоматически.

Видеоурок Павла Виктор дополняет мой материал. Рекомендую посмотреть.

Калькулятор мощности для своих

Здесь вы можете выполнить вычисления онлайн без использования формул и арифметических действий. Просто введите ваши исходные данные в таблицу и жмите кнопку “Рассчитать ток”.

А в заключение напоминаю, что для ваших вопросов создан раздел комментариев. Задавайте их, я отвечу.

Расчет электрической мощности

Добавлено 1 октября 2020 в 09:01

Сохранить или поделиться

Формула расчета мощности

Мы видели формулу для определения мощности в электрической цепи: умножая напряжение в «вольтах» на ток в «амперах», мы получаем ответ в «ваттах». Давайте применим ее на примере схемы:

Как использовать закон Ома для определения силы тока

В приведенной выше схеме мы знаем, что у нас напряжение батареи 18 В и сопротивление лампы 3 Ом. Используя закон Ома для определения силы тока, мы получаем:

\[I = \frac{E}{R} = \frac{18 \ В}{3 \ Ом} = 6 \ А\]

Теперь, когда мы знаем силу тока, мы можем взять это значение и умножить его на напряжение, чтобы определить мощность:

\[P = IE = (6 \ А)(18\ В) = 108 \ Вт\]

Это говорит нам о том, что лампа рассеивает (выделяет) 108 Вт мощности, скорее всего, в виде света и тепла.

Увеличение напряжения батареи

Давайте попробуем взять ту же схему и увеличить напряжение батареи, чтобы посмотреть, что произойдет. Интуиция подсказывает нам, что с увеличением напряжения ток в цепи будет увеличиваться, а сопротивление лампы останется прежним. Таким же образом, увеличится и мощность:

Теперь напряжение аккумулятора составляет 36 вольт вместо 18 вольт. Лампа по-прежнему обеспечивает для прохождения тока электрическое сопротивление 3 Ом. Теперь сила тока равна:

\[I = \frac{E}{R} = \frac{36 \ В}{3 \ Ом} = 12 \ А\]

Это понятно: если I = E/R, и мы удваиваем E, а R остается прежним, сила тока тоже должна удвоиться. Так и есть: теперь у нас сила тока 12 ампер, вместо 6 А. А что насчет мощности?

\[P = IE = (12 \ А)(36\ В) = 432 \ Вт\]

Как повышение напряжения батареи влияет на мощность?

Обратите внимание, что мощность, как мы могли догадаться, увеличилась, но она увеличилась немного больше, чем ток. 2R\]

Резюме

• Мощность измеряется в ваттах, которые обозначается как «Вт».
• Закон Джоуля: P = I²R; P = IE; P = E²/R

Оригинал статьи:

Теги

Сохранить или поделиться

Мощность и энергия | Клуб электроники

Мощность | Рассчитать | Перегрев | Энергия

Следующая страница: AC, DC и электрические сигналы

См. Также: напряжение и ток

Что такое мощность?

Мощность — это скорость использования или поставки энергии:

Мощность измеряется в ваттах (Вт)
Энергия измеряется в джоулях (Дж)
Время измеряется в секундах (с)

Электроника в основном связана с малым количеством энергии, поэтому мощность часто измеряется в милливаттах (мВт), 1 мВт = 0.001W. Например, светодиод потребляет около 40 мВт. а бипер потребляет около 100 мВт, даже лампа, такая как фонарик, потребляет всего около 1 Вт.

Типичная мощность, используемая в электрических цепях сети, намного больше, поэтому эта мощность может быть измеряется в киловаттах (кВт), 1 кВт = 1000 Вт. Например, в обычной сетевой лампе используется 60 Вт, а чайник потребляет около 3 кВт.

Расчет мощности по току и напряжению

Уравнения

Есть три способа написать уравнение для мощности, тока и напряжения:

где:

P = мощность в ваттах (Вт)
V = напряжение в вольтах (В)
I = ток в амперах (A)

или:

P = мощность в милливаттах (мВт)
V = напряжение в вольтах (В)
I = ток в миллиамперах (мА)

Треугольник PIV

Вы можете использовать треугольник PIV, чтобы запомнить эти три уравнения.Используйте его так же, как треугольник закона Ома:

• Чтобы рассчитать мощность , P : поместите палец на P, это оставляет I V, поэтому уравнение P = I × V
• Чтобы рассчитать ток , I : положите палец на I, это оставляет P над V, поэтому уравнение I = ^P / _V
• Для расчета напряжения, В : поместите палец над В, это оставляет P над I, поэтому уравнение V = ^P / _I

Усилитель довольно большой для электроники, поэтому мы часто измеряем ток в миллиамперах (мА), а мощность в милливаттах (мВт).

1 мА = 0,001 А и 1 мВт = 0,001 Вт.

Расчет мощности с использованием сопротивления

Уравнения

По закону Ома V = I × R

мы можем преобразовать P = I × V в:

где:

P = мощность в ваттах (Вт)
I = ток в амперах (A)
R = сопротивление в Ом ()
В = напряжение в вольтах (В)

Треугольники

Вы также можете использовать треугольники, чтобы помочь с этими уравнениями:

Потраченная впустую мощность и перегрев

Обычно используется электроэнергия, например, зажигание лампы или двигателя.Однако электрическая энергия преобразуется в тепло всякий раз, когда ток проходит через сопротивление, и это может быть проблемой, если оно вызывает перегрев устройства или провода. В электроники эффект обычно незначителен, но если сопротивление низкое (провод или резистора номинального значения, например) ток может быть достаточно большим, чтобы вызвать проблему.

Из уравнения P = I² × R видно, что для данного Сопротивление мощность зависит от тока в квадрате , поэтому удвоение тока даст в 4 раза большую мощность.

Резисторы рассчитаны на максимальную мощность, которую они могут развить в них без повреждений, но номинальная мощность редко указывается в списках деталей, потому что подходят стандартные значения 0,25 Вт или 0,5 Вт. для большинства схем. Дополнительная информация доступна на странице резисторов.

Провода и кабели рассчитаны на максимальный ток, который они могут пропускать без перегрева. У них очень низкое сопротивление, поэтому максимальный ток относительно велик. Для получения дополнительной информации о текущий рейтинг см. на странице кабелей.

Энергия

Количество потребляемой (или поставляемой) энергии зависит от мощности и времени, в течение которого она используется:

Устройство малой мощности, работающее в течение длительного времени, может потреблять больше энергии, чем устройство высокой мощности работает непродолжительное время.

Например:

• Лампа мощностью 60 Вт, включенная на 8 часов, потребляет 60 Вт × 8 × 3600 с = 1728 кДж.
• Чайник мощностью 3 кВт, включенный на 5 минут, потребляет 3000 Вт × 5 × 60 с = 900 кДж.

Стандартной единицей измерения энергии является джоуль (Дж), но 1Дж — очень небольшое количество энергии для электросети. поэтому в научной работе иногда используются килоджоуль (кДж) или мегаджоуль (МДж).

Дома мы измеряем электрическую энергию в киловатт-часах (кВтч), которые часто называют просто «единицей». электричества, когда контекст ясен. 1 кВт · ч — это энергия, потребляемая электроприбором мощностью 1 кВт при включении на 1 час:

Например:

• Лампа мощностью 60 Вт, включенная на 8 часов, потребляет 0,06 кВт × 8 = 0,48 кВт · ч.
• Чайник мощностью 3 кВт, включенный на 5 минут, потребляет 3 кВт × ⁵ / ₆₀ = 0,25 кВтч.

Вам может потребоваться преобразовать бытовую единицу кВтч в научную единицу энергии, джоуль (Дж):

1 кВтч = 1 кВт × 1 час = 1000 Вт × 3600 с = 3.6MJ

Следующая страница: Сигналы переменного и постоянного тока | Исследование

Политика конфиденциальности и файлы cookie

Этот сайт не собирает личную информацию. Если вы отправите электронное письмо, ваш адрес электронной почты и любая личная информация будет используется только для ответа на ваше сообщение, оно не будет передано никому. На этом веб-сайте отображается реклама, если вы нажмете на рекламодатель может знать, что вы пришли с этого сайта, и я могу быть вознагражден. Рекламодателям не передается никакая личная информация.Этот веб-сайт использует некоторые файлы cookie, которые классифицируются как «строго необходимые», они необходимы для работы веб-сайта и не могут быть отклонены, но они не содержат никакой личной информации. Этот веб-сайт использует службу Google AdSense, которая использует файлы cookie для показа рекламы на основе использования вами веб-сайтов. (включая этот), как объяснил Google. Чтобы узнать, как удалить файлы cookie и управлять ими в своем браузере, пожалуйста, посетите AboutCookies.org.

electronicsclub.info © Джон Хьюс 2021 г.

Определение мощности и размера выборки

Определение мощности и размера выборки

Автор:

Лиза Салливан, доктор философии

Профессор биосатистики

Школа общественного здравоохранения Бостонского университета

Критически важным аспектом любого исследования является определение подходящего размера выборки для ответа на вопрос исследования.В этом модуле основное внимание уделяется формулам, которые можно использовать для оценки размера выборки, необходимого для получения оценки доверительного интервала с заданным пределом погрешности (точности) или для гарантии того, что проверка гипотезы имеет высокую вероятность обнаружения значимой разницы в параметр.

Исследования должны быть разработаны таким образом, чтобы включать достаточное количество участников для адекватного ответа на вопрос исследования. Исследования, в которых участвует либо недостаточное количество участников, либо чрезмерно большое количество участников, расточительны с точки зрения времени участников и исследователей, ресурсов для проведения оценок, аналитических усилий и т. Д.Эти ситуации также можно рассматривать как неэтичные, поскольку участники могли подвергнуться риску в рамках исследования, которое не смогло ответить на важный вопрос. Исследования, которые намного больше, чем они должны быть, чтобы ответить на вопросы исследования, также расточительны.

Формулы, представленные здесь, позволяют оценить необходимый размер (а) выборки на основе статистических критериев. Однако во многих исследованиях размер выборки определяется финансовыми или логистическими ограничениями. Например, предположим, что предлагается исследование для оценки нового скринингового теста на синдром Дауна.Предположим, что скрининговый тест основан на анализе пробы крови, взятой у женщины на ранних сроках беременности. Чтобы оценить свойства скринингового теста (например, чувствительность и специфичность), каждой беременной женщине будет предложено сдать образец крови и, в дополнение, пройти амниоцентез. Амниоцентез включен в качестве золотого стандарта, и его план состоит в том, чтобы сравнить результаты скринингового теста с результатами амниоцентеза. Предположим, что сбор и обработка образца крови стоит 250 долларов на участника, а амниоцентез — 900 долларов на участника.Одни только эти финансовые ограничения могут существенно ограничить число женщин, которые могут быть зачислены. Так же, как важно учитывать статистическую и клиническую значимость при интерпретации результатов статистического анализа, важно также взвесить как статистические, так и логистические вопросы при определении размера выборки для исследования.

После завершения этого модуля студент сможет:

1. Приведите примеры, демонстрирующие, как предел погрешности, размер эффекта и изменчивость результата влияют на вычисления размера выборки.
2. Рассчитайте размер выборки, необходимый для точной оценки параметров генеральной совокупности.
3. Интерпретировать статистическую мощность при проверке гипотез.
4. Вычислите размер выборки, необходимый для обеспечения высокой мощности при проверке гипотез.

Модуль доверительных интервалов предоставляет методы оценки доверительных интервалов для различных параметров (например, μ, p, (μ ₁ — μ ₂ ), μ _d , (p ₁ -p ₂ ) )).Доверительные интервалы для каждого параметра имеют следующий общий вид:

балла + Погрешность

В модуле доверительных интервалов мы вывели формулу доверительного интервала для μ как

На практике мы используем стандартное отклонение выборки для оценки стандартного отклонения генеральной совокупности. Обратите внимание, что существует альтернативная формула для оценки среднего значения непрерывного результата в одной генеральной совокупности, и она используется, когда размер выборки невелик (n <30).Он включает значение из распределения t, в отличие от значения из стандартного нормального распределения, чтобы отразить желаемый уровень достоверности. При вычислении размера выборки мы используем формулу для большой выборки, показанную здесь. [Примечание: размер результирующей выборки может быть небольшим, и на этапе анализа необходимо использовать соответствующую формулу доверительного интервала.]

Точечная оценка среднего для генеральной совокупности является выборочным средним, а предел погрешности составляет

При планировании исследований мы хотим определить размер выборки, необходимый для обеспечения того, чтобы предел погрешности был достаточно малым, чтобы быть информативным.Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес студенток колледжа. Мы проводим исследование и получаем 95% доверительный интервал следующим образом: 125 + 40 фунтов, или от 85 до 165 фунтов. Предел погрешности настолько велик, что доверительный интервал неинформативен. Чтобы быть информативным, исследователь может захотеть, чтобы предел погрешности составлял не более 5 или 10 фунтов (это означает, что 95% доверительный интервал будет иметь ширину (от нижнего предела до верхнего предела) 10 или 20 фунтов). Чтобы определить необходимый размер выборки , исследователь должен указать желаемую погрешность .Важно отметить, что это не статистический вопрос, а клинический или практический. Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес при рождении младенцев, рожденных от матерей, которые курят сигареты во время беременности. Вес при рождении у младенцев явно имеет гораздо более ограниченный диапазон, чем у студенток колледжа. Следовательно, мы, вероятно, захотим создать доверительный интервал для среднего веса при рождении, который имеет погрешность, не превышающую 1–2 фунта.

Предел погрешности в доверительном интервале одной выборки для μ можно записать следующим образом:

.

Наша цель — определить размер выборки n, при котором предел погрешности « E » не превышает заданного значения. Мы можем взять приведенную выше формулу и с помощью некоторой алгебры решить относительно n :

Сначала умножьте обе части уравнения на квадратный корень из n . Затем вычтите квадратный корень из n из числителя и знаменателя в правой части уравнения (поскольку любое число, деленное само на себя, равно 1). Остается:

Теперь разделите обе части на «E» и вычеркните «E» из числителя и знаменателя в левой части.Остается:

Наконец, возведите обе части уравнения в квадрат, чтобы получить:

Эта формула генерирует размер выборки n , необходимый для обеспечения того, чтобы предел погрешности E не превышал заданного значения. Чтобы найти n , мы должны ввести « Z », « σ», «» и « E ».

• Z — значение из таблицы вероятностей стандартного нормального распределения для желаемого уровня достоверности (например,g., Z = 1,96 для 95% достоверности)
• E — это предел погрешности, который исследователь определяет как важный с клинической или практической точки зрения.
• σ — стандартное отклонение интересующего результата.

Иногда бывает сложно оценить σ . Когда мы используем приведенную выше формулу размера выборки (или одну из других формул, которые мы представим в следующих разделах), мы планируем исследование для оценки неизвестного среднего значения конкретной переменной результата в генеральной совокупности.Маловероятно, что мы узнаем стандартное отклонение этой переменной. При вычислении размера выборки исследователи часто используют значение стандартного отклонения от предыдущего исследования или исследования, проведенного в другой, но сопоставимой совокупности. Расчет размера выборки не является применением статистических выводов, и поэтому разумно использовать соответствующую оценку стандартного отклонения. Оценка может быть получена из другого исследования, о котором сообщалось в литературе; некоторые исследователи проводят небольшое пилотное исследование для оценки стандартного отклонения.Пилотное исследование обычно включает небольшое количество участников (например, n = 10), которые выбираются по удобству, а не методом случайной выборки. Данные участников пилотного исследования можно использовать для вычисления стандартного отклонения выборки, которое служит хорошей оценкой для σ в формуле размера выборки. Независимо от того, как получается оценка изменчивости результата, она всегда должна быть консервативной (т.е. настолько большой, насколько это разумно), чтобы размер результирующей выборки не был слишком маленьким.

Формула дает минимальный размер выборки, гарантирующий, что предел погрешности в доверительном интервале не будет превышать E . При планировании исследований исследователи также должны учитывать выбытие или отказ от последующего наблюдения. Приведенная выше формула дает необходимое количество участников с полными данными, чтобы гарантировать, что предел ошибки в доверительном интервале не превышает E . Мы проиллюстрируем, как устраняется истощение при планировании исследований, на примерах в следующих разделах.

В исследованиях, в которых планируется оценить среднее значение переменной непрерывного результата в одной популяции, ниже приводится формула для определения размера выборки:

, где Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), σ — стандартное отклонение выходной переменной, а E — желаемое. погрешность.Приведенная выше формула генерирует минимальное количество субъектов, необходимое для обеспечения того, чтобы предел погрешности доверительного интервала для μ не превышал E .

Пример 1:

Исследователь хочет оценить среднее систолическое артериальное давление у детей с врожденным пороком сердца в возрасте от 3 до 5 лет. Сколько детей должно быть включено в исследование? Исследователь планирует использовать 95% доверительный интервал (так Z = 1,96) и хочет погрешность в 5 единиц.Стандартное отклонение систолического артериального давления неизвестно, но исследователи провели поиск литературы и обнаружили, что стандартное отклонение систолического артериального давления у детей с другими пороками сердца составляет от 15 до 20. Чтобы оценить размер выборки, мы рассматриваем больший стандарт отклонение, чтобы получить наиболее консервативный (самый большой) размер выборки.

Чтобы гарантировать, что 95% -ный доверительный интервал оценки среднего систолического артериального давления у детей в возрасте от 3 до 5 лет с врожденным пороком сердца находится в пределах 5 единиц от истинного среднего значения, необходима выборка размером 62.[ Примечание : Мы всегда округляем вверх; формулы размера выборки всегда генерируют минимальное количество субъектов, необходимое для обеспечения указанной точности.] Если бы мы приняли стандартное отклонение, равное 15, размер выборки был бы n = 35. Поскольку оценки стандартного отклонения были получены из исследований детей с другими пороками сердца, было бы целесообразно использовать большее стандартное отклонение и запланировать исследование с 62 детьми. Выбор меньшего размера выборки потенциально может дать оценку доверительного интервала с большей погрешностью.

Исследователь хочет оценить средний вес при рождении доношенных детей (примерно 40 недель беременности) от матерей в возрасте 19 лет и младше. Средний вес новорожденных, рожденных доношенными от матерей в возрасте 20 лет и старше, составляет 3 510 граммов со стандартным отклонением 385 граммов. Сколько женщин в возрасте 19 лет и младше должны быть включены в исследование, чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении их младенцев с доверительным интервалом 95% имеет предел погрешности, не превышающий 100 граммов? Прежде чем смотреть на ответ, попробуйте выполнить расчет.

Ответ

В исследованиях, в которых планируется оценить долю успехов по дихотомической переменной результата (да / нет) в одной популяции, формула для определения размера выборки:

, где Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), а E — желаемый предел погрешности. p — доля успехов в популяции.Здесь мы планируем исследование, чтобы получить 95% доверительный интервал для неизвестной доли населения, p . Уравнение для определения размера выборки для определения p, кажется, требует знания p, но, очевидно, это круговой аргумент, потому что, если бы мы знали долю успехов в популяции, то в исследовании не было бы необходимости! Что нам действительно нужно, так это приблизительное значение p или ожидаемое значение. Диапазон p составляет от 0 до 1, и, следовательно, диапазон p (1-p) составляет от 0 до 1.Значение p, которое максимизирует p (1-p), равно p = 0,5. Следовательно, если нет информации для приближения p, то p = 0,5 можно использовать для получения наиболее консервативного или наибольшего размера выборки.

Пример 2:

Исследователь хочет оценить долю первокурсников в его университете, которые в настоящее время курят сигареты (т. Е. Распространенность курения). Сколько первокурсников должно быть вовлечено в исследование, чтобы гарантировать, что оценка доли курящих первокурсников с доверительным интервалом 95% находится в пределах 5% от истинной доли?

Поскольку у нас нет информации о доле курящих первокурсников, мы используем 0.5 для оценки размера выборки следующим образом:

Чтобы гарантировать, что оценка 95% доверительного интервала доли курящих первокурсников находится в пределах 5% от истинной доли, необходима выборка размером 385.

Предположим, что подобное исследование было проведено 2 года назад и обнаружило, что распространенность курения среди первокурсников составляет 27%. Если исследователь считает, что это разумная оценка распространенности через 2 года, ее можно использовать для планирования следующего исследования.Используя эту оценку p, какой размер выборки необходим (при условии, что снова будет использоваться 95% доверительный интервал и нам нужен такой же уровень точности)?

Ответ

Пример 3:

Исследователь хочет оценить распространенность рака груди среди женщин в возрасте от 40 до 45 лет, проживающих в Бостоне. Сколько женщин должно быть вовлечено в исследование, чтобы оценка была точной? Национальные данные показывают, что к 40 годам у 1 из 235 женщин диагностируется рак груди.Это соответствует доле 0,0043 (0,43%) или 43 на 10 000 женщин. Предположим, исследователь хочет, чтобы оценка была в пределах 10 на 10 000 женщин с достоверностью 95%. Размер выборки рассчитывается следующим образом:

Выборка размером n = 16 448 гарантирует, что оценка распространенности рака груди с доверительным интервалом 95% находится в пределах 0,10 (или в пределах 10 женщин на 10 000) от его истинного значения. Это ситуация, когда исследователи могут решить, что выборка такого размера невозможна.Предположим, что исследователи думали, что выборка размером 5000 будет разумной с практической точки зрения. Насколько точно мы можем оценить распространенность на выборке размером n = 5000? Напомним, что формула доверительного интервала для оценки распространенности:

.

Предполагая, что распространенность рака груди в выборке будет близка к той, которая основана на национальных данных, мы ожидаем, что предел погрешности будет примерно равен следующему:

Таким образом, при n = 5000 женщин можно ожидать, что 95% доверительный интервал будет иметь погрешность, равную 0.0018 (или 18 на 10 000). Исследователи должны решить, будет ли это достаточно точным, чтобы ответить на исследовательский вопрос. Обратите внимание, что вышеизложенное основано на предположении, что распространенность рака груди в Бостоне аналогична общенациональной. Это может быть, а может и не быть разумным предположением. Фактически, цель настоящего исследования — оценить распространенность в Бостоне. Исследовательская группа при участии клинических исследователей и биостатистов должна тщательно оценить последствия выбора выборки размером n = 5000, n = 16 448 или любого промежуточного размера.

В исследованиях, в которых планируется оценить разницу в средних значениях между двумя независимыми популяциями, ниже приводится формула для определения размеров выборки в каждой группе сравнения:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), Z — значение стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться, а E — желаемый предел погрешности. σ снова отражает стандартное отклонение переменной результата.Вспомните из модуля по доверительным интервалам, что, когда мы генерировали оценку доверительного интервала для разницы в средних, мы использовали Sp, объединенную оценку общего стандартного отклонения, как меру изменчивости в результате (на основе объединения данных). , где Sp вычисляется следующим образом:

Если доступны данные о вариабельности результата в каждой группе сравнения, то Sp можно вычислить и использовать в формуле размера выборки. Однако чаще всего данные о вариабельности исходов доступны только по одной группе, часто не получавшей лечения (например,g., плацебо-контроль) или группу, не подвергавшуюся воздействию. При планировании клинического испытания нового препарата или процедуры часто доступны данные других испытаний, в которых принимали участие плацебо или активная контрольная группа (т. Е. Стандартное лекарство или лечение, назначенное для исследуемого состояния). Стандартное отклонение переменной результата, измеренное у пациентов, отнесенных к группе плацебо, контрольной или неэкспонированной группе, можно использовать для планирования будущего исследования, как показано ниже.

Обратите внимание, что формула размера выборки генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера.Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, тогда можно использовать альтернативные формулы.

Пример 4:

Исследователь хочет запланировать клиническое испытание для оценки эффективности нового препарата, предназначенного для повышения уровня холестерина ЛПВП («хорошего» холестерина). План состоит в том, чтобы зарегистрировать участников и случайным образом распределить их для приема нового препарата или плацебо. Холестерин ЛПВП будет измеряться у каждого участника через 12 недель назначенного лечения.Основываясь на предыдущем опыте проведения подобных исследований, исследователь ожидает, что 10% всех участников будут потеряны для последующего наблюдения или выбыли из исследования в течение 12 недель. Будет рассчитан 95% доверительный интервал для количественной оценки разницы в средних уровнях ЛПВП между пациентами, принимающими новый препарат, по сравнению с плацебо. Исследователь хотел бы, чтобы погрешность была не более 3 единиц. Сколько пациентов следует включить в исследование?

Размеры выборки рассчитываются следующим образом:

Основной проблемой является определение вариабельности интересующего результата (σ), в данном случае стандартного отклонения холестерина ЛПВП.Чтобы спланировать это исследование, мы можем использовать данные Фрамингемского исследования сердца. У участников, которые присутствовали на седьмом обследовании исследования потомства и не лечились от высокого холестерина, стандартное отклонение холестерина ЛПВП составляет 17,1. Мы будем использовать это значение и другие входные данные для вычисления размеров выборки следующим образом:

Образцы размера n ₁ = 250 и n ₂ = 250 гарантируют, что 95% доверительный интервал для разницы средних уровней ЛПВП будет иметь погрешность не более 3 единиц.Опять же, эти размеры выборки относятся к количеству участников с полными данными. Исследователи предположили, что процент отсева (или отсева) составляет 10% (в обеих группах). Чтобы гарантировать, что общий размер выборки 500 доступен через 12 недель, исследователь должен набрать больше участников, чтобы учесть их выбывание.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 500/0.90 = 556

Если они ожидают 10% отсева, исследователи должны зарегистрировать 556 участников. Это обеспечит N = 500 с полными данными в конце испытания.

Пример 5:

Исследователь хочет сравнить две диеты для детей, страдающих ожирением. Одна диета — это диета с низким содержанием жиров, а другая — с низким содержанием углеводов. План состоит в том, чтобы набрать детей и взвесить их в начале исследования. Затем каждому ребенку будет случайным образом назначена диета с низким содержанием жиров или углеводов.Каждый ребенок будет соблюдать назначенную диету в течение 8 недель, после чего они снова будут взвешиваться. Количество потерянных фунтов будет подсчитано для каждого ребенка. Основываясь на данных, полученных в результате испытаний диеты у взрослых, исследователь ожидает, что 20% всех детей не завершат исследование. Для количественной оценки разницы в потерянном весе между двумя диетами будет рассчитан 95% доверительный интервал, и исследователь хотел бы, чтобы погрешность составляла не более 3 фунтов. Сколько детей следует включить в исследование?

Размеры выборки рассчитываются следующим образом:

Опять же, проблема заключается в определении изменчивости интересующего результата (σ), здесь стандартное отклонение в фунтах, потерянных за 8 недель.Чтобы спланировать это исследование, исследователи используют данные опубликованного исследования взрослых. Предположим, что в одном из таких исследований сравнивали одни и те же диеты у взрослых и участвовали по 100 участников в каждой диетической группе. В исследовании сообщалось о стандартном отклонении веса, потерянном за 8 недель на диете с низким содержанием жиров на 8,4 фунта, и о стандартном отклонении веса, потерянном за 8 недель на диете с низким содержанием углеводов, в размере 7,7 фунтов. Эти данные можно использовать для оценки общего стандартного отклонения потери веса следующим образом:

Теперь мы используем это значение и другие входные данные для вычисления размеров выборки:

Образцы размера n ₁ = 56 и n ₂ = 56 гарантируют, что 95% доверительный интервал для разницы в потерянном весе между диетами будет иметь погрешность не более 3 фунтов.Опять же, эти размеры выборки относятся к количеству детей с полными данными. Исследователи ожидают 20% отсева. Чтобы гарантировать, что общий размер выборки 112 будет доступен через 8 недель, исследователь должен набрать больше участников, чтобы учесть их выбытие.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 112 / 0,80 = 140

В исследованиях, в которых планируется оценить среднюю разницу непрерывного результата на основе сопоставленных данных, ниже приводится формула для определения размера выборки:

, где Z — значение стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например,g., Z = 1,96 для 95%), E — желаемый предел погрешности, а σ _d — стандартное отклонение разницы оценок. Чрезвычайно важно, чтобы стандартное отклонение баллов разницы (например, разница, основанная на измерениях с течением времени или разница между согласованными парами) использовалось здесь для надлежащей оценки размера выборки.

В исследованиях, в которых планируется оценить разницу в пропорциях между двумя независимыми популяциями (т.д., для оценки разницы рисков) формула для определения размеров выборки, требуемой в каждой группе сравнения:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), и E — желаемая погрешность. p ₁ и p ₂ — это доли успехов в каждой группе сравнения. Опять же, здесь мы планируем исследование для получения 95% доверительного интервала для разницы в неизвестных пропорциях, а формула для оценки необходимых размеров выборки требует p ₁ и p ₂ .Чтобы оценить размер выборки, нам нужны приблизительные значения p ₁ и p ₂ . Значения p ₁ и p ₂ , которые максимизируют размер выборки, равны p ₁ = p ₂ = 0,5. Таким образом, если нет доступной информации для приближения p ₁ и p ₂ , то можно использовать 0,5 для получения наиболее консервативных или наибольших размеров выборки.

Подобно ситуации для двух независимых выборок и непрерывного результата в верхней части этой страницы, может быть случай, когда доступны данные о доле успешных результатов в одной группе, обычно необработанной (например.g., плацебо-контроль) или группу, не подвергавшуюся воздействию. В таком случае известная пропорция может использоваться как для p ₁ , так и для p ₂ в приведенной выше формуле. Приведенная выше формула генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера. Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, тогда можно использовать альтернативные формулы. Заинтересованные читатели могут увидеть Флейсс для более подробной информации. ⁴

Пример 6:

Исследователь хочет оценить влияние курения во время беременности на преждевременные роды.Нормальная беременность длится примерно 40 недель, а преждевременные роды — это те, которые происходят до 37 недель. В отчете Национальной статистики естественного движения населения за 2005 год указывается, что примерно 12% младенцев рождаются преждевременно в Соединенных Штатах. ⁵ Исследователь планирует собрать данные посредством обзора медицинских карт и создать 95% доверительный интервал для разницы в долях детей, рожденных недоношенными женщинами, которые курили во время беременности, по сравнению с теми, кто этого не сделал. Сколько женщин должно быть включено в исследование, чтобы гарантировать, что 95% доверительный интервал для разницы в пропорциях имеет погрешность не более 4%?

Размеры выборки (т.е., количество женщин, которые курили и не курили во время беременности), можно рассчитать по формуле, показанной выше. Национальные данные показывают, что 12% младенцев рождаются преждевременно. Мы будем использовать эту оценку для обеих групп при вычислении размера выборки.

Образцы размера n ₁ = 508 женщин, которые курили во время беременности, и n ₂ = 508 женщин, которые не курили во время беременности, гарантируют, что 95% -ный доверительный интервал для разницы в пропорциях преждевременных родов будет иметь запас погрешность не более 4%.

Здесь проблема истощения?

Ответ

В модуле проверки гипотез для средних и пропорций мы представили методы для средних, пропорций, различий в средних и различий в пропорциях. Хотя каждый тест включал детали, которые были специфичны для интересующего результата (например, непрерывный или дихотомический) и для количества групп сравнения (одна, две, более двух), для каждого теста были общие элементы.Например, в каждой проверке гипотезы можно совершить две ошибки. Первая называется ошибкой типа I и относится к ситуации, когда мы неправильно отклоняем H ₀ , хотя на самом деле это правда. На первом этапе любой проверки гипотезы мы выбираем уровень значимости, α, и α = P (ошибка типа I) = P (отклонить H ₀ | H ₀ верно). Поскольку мы намеренно выбираем небольшое значение для α, мы контролируем вероятность совершения ошибки типа I. Второй тип ошибки называется ошибкой типа II и определяется как вероятность того, что мы не отклоним H ₀ , если она ложна.Вероятность ошибки типа II обозначается β, а β = P (ошибка типа II) = P (Не отклонять H ₀ | H ₀ ложно). При проверке гипотез мы обычно сосредотачиваемся на мощности, которая определяется как вероятность того, что мы отклоним H ₀ , когда оно ложно, т. Е. Мощность = 1- β = P (Отклонить H ₀ | H ₀ ложно ). Мощность — это вероятность того, что тест правильно отклонит ложную нулевую гипотезу. Хороший тест — это тест с низкой вероятностью совершения ошибки типа I (т.е., малое α) и высокое увеличение (то есть малое β, высокое увеличение).

Здесь мы представляем формулы для определения размера выборки, необходимого для обеспечения высокой мощности теста. Вычисления размера выборки зависят от уровня значимости, aα, желаемой мощности теста (эквивалентно 1-β), вариабельности результата и величины эффекта. Величина эффекта — это разница в интересующем параметре, которая представляет собой клинически значимое различие. Подобно пределу погрешности в приложениях с доверительным интервалом, величина эффекта определяется на основе клинических или практических критериев, а не статистических критериев.

Понятие статистической мощности может быть трудным для понимания. Прежде чем представить формулы для определения размеров выборки, необходимых для обеспечения высокой мощности в тесте, мы сначала обсудим мощность с концептуальной точки зрения.

Предположим, мы хотим проверить следующие гипотезы при aα = 0,05: H ₀ : μ = 90 по сравнению с H ₁ : μ ≠ 90. Чтобы проверить гипотезы, предположим, что мы выбрали выборку размером n = 100. В этом примере предположим, что стандартное отклонение результата составляет σ = 20.Мы вычисляем выборочное среднее, а затем должны решить, предоставляет ли выборочное среднее доказательства в поддержку альтернативной гипотезы или нет. Это делается путем вычисления статистики теста и сравнения статистики теста с соответствующим критическим значением. Если нулевая гипотеза верна (μ = 90), то мы, вероятно, выберем образец, среднее значение которого близко к значению 90. Однако также можно выбрать образец, среднее значение которого намного больше или намного меньше 90. Напомним из Центральной предельной теоремы (см. Стр. 11 в модуле Вероятность), что для больших n (здесь n = 100 достаточно велико) распределение выборочных средних приблизительно нормально со средним значением

и

Если нулевая гипотеза верна, можно наблюдать любое среднее значение выборки, показанное на рисунке ниже; все это возможно при H ₀ : μ = 90.

Когда мы устанавливаем правило принятия решения для нашей проверки гипотезы, мы определяем критические значения на основе α = 0,05 и двустороннего теста. Когда мы запускаем проверку гипотез, мы обычно стандартизируем данные (например, конвертируем в Z или t), а критические значения — это соответствующие значения из распределения вероятностей, используемого в тесте. Чтобы облегчить интерпретацию, мы продолжим это обсуждение вместо Z. Критические значения для двустороннего теста с α = 0,05 равны 86.06 и 93,92 (эти значения соответствуют -1,96 и 1,96 соответственно по шкале Z), поэтому правило принятия решения следующее: Отклонить H ₀ , если < 86,06 или если > 93,92. Область отклонения показана в хвостах рисунка ниже.

Область отклонения для теста H ₀ : μ = 90 по сравнению с H ₁ : μ ≠ 90 при α = 0,05

.

Области в двух хвостах кривой представляют вероятность ошибки типа I, α = 0.05. Эта концепция обсуждалась в модуле по проверке гипотез.

Теперь предположим, что альтернативная гипотеза H ₁ верна (т. Е. Μ ≠ 90) и что истинное среднее на самом деле составляет 94. На рисунке ниже показаны распределения выборочного среднего при нулевой и альтернативной гипотезах. значения выборочного среднего показаны по горизонтальной оси.

Распределение ниже H ₀ : μ = 90 и ниже H ₁ : μ = 94

Если истинное среднее значение равно 94, то альтернативная гипотеза верна.В нашем тесте мы выбрали α = 0,05 и отклонили H ₀ , если наблюдаемое среднее значение выборки превышает 93,92 (на данный момент фокусируясь на верхнем хвосте области отклонения). Критическое значение (93,92) указано вертикальной линией. Вероятность ошибки типа II обозначается β, а β = P (Do not Reject H ₀ | H ₀ ложно), то есть вероятность не отклонить нулевую гипотезу, если нулевая гипотеза верна. β показано на рисунке выше как область под крайней правой кривой (H ₁ ) слева от вертикальной линии (где мы не отклоняем H ₀ ).Мощность определяется как 1- β = P (отклонить H ₀ | H ₀ неверно) и показана на рисунке как область под крайней правой кривой (H ₁ ) справа от вертикальной линии ( где мы отклоняем H ₀ ).

Обратите внимание, что β и мощность связаны с α, изменчивостью результата и величиной эффекта. Из рисунка выше мы можем видеть, что произойдет с β и мощностью, если мы увеличим α. Предположим, например, что мы увеличиваем α до α = 0,10. Верхнее критическое значение будет 92.56 вместо 93,92. Вертикальная линия сместится влево, увеличивая α, уменьшая β и увеличивая мощность. Хотя лучший тест — это тест с более высокой мощностью, не рекомендуется увеличивать α как средство увеличения мощности. Тем не менее, существует прямая зависимость между α и мощностью (с увеличением α увеличивается и мощность).

β и мощность также связаны с изменчивостью результата и величиной эффекта. Величина эффекта — это разница в интересующем параметре (например, μ), которая представляет собой клинически значимое различие.На приведенном выше рисунке графически отображаются α, β и степень, когда разница в среднем под нулевым значением по сравнению с альтернативной гипотезой составляет 4 единицы (то есть 90 против 94). На рисунке ниже показаны те же компоненты для ситуации, когда среднее значение согласно альтернативной гипотезе равно 98.

Рисунок — Распределение ниже H ₀ : μ = 90 и ниже H ₁ : μ = 98.

Обратите внимание на то, что мощность намного выше, когда разница между средним значением H ₀ больше по сравнению с H ₁ (т.е.э., 90 против 98). Статистический тест с большей вероятностью отклонит нулевую гипотезу в пользу альтернативы, если истинное среднее значение равно 98, чем если истинное среднее значение равно 94. Также обратите внимание на то, что в этом случае существует небольшое перекрытие в распределениях при нулевой и альтернативной гипотезах. . Если наблюдается выборочное среднее значение 97 или выше, очень маловероятно, что оно получено из распределения, среднее значение которого равно 90. На предыдущем рисунке для H ₀ : μ = 90 и H ₁ : μ = 94, если мы Наблюдая, например, выборочное среднее значение 93, было бы не так ясно, было ли оно получено из распределения, среднее значение которого равно 90, или того, которое имеет среднее значение 94.

При разработке исследований большинство людей рассматривают степень вероятности 80% или 90% (так же, как мы обычно используем 95% в качестве уровня достоверности для оценок доверительного интервала). Входные данные для формул размера выборки включают желаемую мощность, уровень значимости и размер эффекта. Величина эффекта выбрана так, чтобы представить клинически значимую или практически важную разницу в интересующем параметре, как мы проиллюстрируем.

Формулы, которые мы представляем ниже, определяют минимальный размер выборки, чтобы гарантировать, что проверка гипотезы будет иметь заданную вероятность отклонения нулевой гипотезы, если она ложна (т.е., указанная мощность). Планируя исследования, исследователи снова должны учитывать выбывание или потерю для последующего наблюдения. Формулы, показанные ниже, определяют необходимое количество участников с полными данными, и мы проиллюстрируем, как отсев участников решается при планировании исследований.

В исследованиях, в которых планируется выполнить проверку гипотезы, сравнивая среднее значение переменной непрерывного результата в одной популяции с известным средним значением, представляют интерес гипотезы:

H ₀ : μ = μ _{0 и} H ₁ : μ ≠ μ ₀ где μ ₀ — известное среднее значение (например,г., исторический контроль). Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него. Например, если α = 0,05, то 1- α / 2 = 0,975 и Z = 1,960. 1- β — выбранная мощность, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, при котором 1- β ниже. Оценка размера выборки для проверки гипотез часто основана на достижении 80% или 90% мощности.Значения Z _1-β для этих популярных сценариев приведены ниже:

• Для мощности 80% Z _0,80 = 0,84

• Для мощности 90% Z _0,90 = 1,282

ES — это размер эффекта , определяемый следующим образом:

, где μ ₀ — среднее значение для H ₀ , μ ₁ — среднее значение для H ₁ , а σ — стандартное отклонение интересующего результата.Числитель величины эффекта, абсолютное значение разницы средних | μ ₁ — μ ₀ |, представляет собой то, что считается клинически значимым или практически важным различием в средствах. Подобно проблеме, с которой мы столкнулись при планировании исследований для оценки доверительных интервалов, иногда бывает трудно оценить стандартное отклонение. При вычислении размера выборки исследователи часто используют значение стандартного отклонения от предыдущего исследования или исследования, выполненного в другой, но сопоставимой совокупности.Независимо от того, как получается оценка изменчивости результата, она всегда должна быть консервативной (т.е. настолько большой, насколько это разумно), чтобы размер результирующей выборки не был слишком маленьким.

Пример 7:

Исследователь предполагает, что у людей, не страдающих диабетом, уровень глюкозы в крови натощак, фактор риска ишемической болезни сердца, выше у тех, кто пьет не менее 2 чашек кофе в день. Планируется перекрестное исследование для оценки среднего уровня глюкозы в крови натощак у людей, которые пьют не менее двух чашек кофе в день.Средний уровень глюкозы в крови натощак у людей, не страдающих диабетом, составляет 95,0 мг / дл со стандартным отклонением 9,8 мг / дл. ⁷ Если средний уровень глюкозы в крови у людей, выпивающих не менее 2 чашек кофе в день, составляет 100 мг / дл, это будет иметь клиническое значение. Сколько пациентов следует включить в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для выявления этой разницы? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Размер эффекта рассчитывается как:

.

Размер эффекта представляет собой значимую разницу в среднем генеральной совокупности — здесь 95 против 100 или 0,51 единицы стандартного отклонения. Теперь мы заменим размер эффекта и соответствующие значения Z на выбранные α и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Таким образом, выборка размером n = 31 гарантирует, что двусторонний тест с α = 0,05 будет иметь 80% -ную мощность для обнаружения разницы в 5 мг / дл в средних уровнях глюкозы в крови натощак.

В запланированном исследовании участников попросят голодать в течение ночи и сдать образец крови для анализа уровня глюкозы.Основываясь на предыдущем опыте, исследователи предполагают, что 10% участников не будут голодать или откажутся соблюдать протокол исследования. Таким образом, в исследование будут включены в общей сложности 35 участников, чтобы обеспечить доступность 31 для анализа (см. Ниже).

N (число для включения) * (%, соблюдающие протокол) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 31 / 0,90 = 35.

против

, где p ₀ — известная пропорция (т.е.г., исторический контроль). Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него. 1- β — это выбранная мощность, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, при котором 1- β ниже него, а ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

, где p ₀ — это пропорция согласно H ₀ , а p ₁ — пропорция согласно H ₁ .Числитель величины эффекта, абсолютное значение разницы в пропорциях | p ₁ -p ₀ |, снова представляет собой то, что считается клинически значимой или практически важной разницей в пропорциях.

Пример 8:

Недавний отчет Фрамингемского исследования сердца показал, что 26% людей, не страдающих сердечно-сосудистыми заболеваниями, имели повышенный уровень холестерина ЛПНП, определяемый как ЛПНП> 159 мг / дл. ⁹ Исследователь предполагает, что более высокая доля пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями в анамнезе будет иметь повышенный холестерин ЛПНП.Сколько пациентов следует обследовать, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 90%, чтобы обнаружить разницу в 5% в пропорции с повышенным холестерином ЛПНП? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала вычисляем размер эффекта:

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборка размером n = 869 обеспечит двусторонний тест с α = 0.05 имеет 90% -ную мощность для обнаружения 5% -ной разницы в доле пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями в анамнезе, которые имеют повышенный уровень холестерина ЛПНП.

Производитель медицинского оборудования производит имплантируемые стенты. В процессе производства приблизительно 10% стентов считаются дефектными. Производитель хочет проверить, не превышает ли доля дефектных стентов 10%. Если в результате процесса образуется более 15% дефектных стентов, необходимо предпринять корректирующие действия.Поэтому производитель хочет, чтобы тест имел мощность 90%, чтобы обнаруживать разницу в пропорциях такой величины. Сколько стентов необходимо оценить? Для расчетов используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%. (Проведите вычисления самостоятельно, прежде чем смотреть ответ.)

Ответ

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая средние значения непрерывной переменной результата в двух независимых популяциях, интересными гипотезами являются:

против

, где μ ₁ и μ ₂ — средние значения в двух сравниваемых совокупностях.Формула для определения размеров выборки для обеспечения заданной мощности теста:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, содержащего 1- α. / 2 ниже, а 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- β ниже него. ES — размер эффекта, определяемый как:

где | μ ₁ — μ ₂ | — абсолютное значение разницы средних значений между двумя группами, ожидаемая согласно альтернативной гипотезе, H ₁ .σ — стандартное отклонение интересующего результата. Напомним из модуля по проверке гипотез, когда мы выполняли тесты гипотез, сравнивая средние значения двух независимых групп, мы использовали Sp, объединенную оценку общего стандартного отклонения, как меру изменчивости результата.

Sp рассчитывается следующим образом:

Если доступны данные о вариабельности результата в каждой группе сравнения, то Sp можно вычислить и использовать для генерации размеров выборки.Однако чаще всего данные о вариабельности исходов доступны только по одной группе, обычно необработанной (например, контрольная группа плацебо) или группе, не подвергавшейся воздействию. При планировании клинического испытания нового препарата или процедуры часто доступны данные из других испытаний, которые могли включать плацебо или активную контрольную группу (т. Е. Стандартное лекарство или лечение, назначенное для исследуемого состояния). Стандартное отклонение переменной результата, измеренное у пациентов, отнесенных к группе плацебо, контрольной или неэкспонированной группе, можно использовать для планирования будущего исследования, как показано.

Также обратите внимание, что приведенная выше формула генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера. Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, то можно использовать альтернативные формулы (более подробную информацию см. В Howell ³ ).

Пример 9:

Исследователь планирует клиническое испытание для оценки эффективности нового препарата, предназначенного для снижения систолического артериального давления.План состоит в том, чтобы зарегистрировать участников и случайным образом распределить их для приема нового препарата или плацебо. Систолическое артериальное давление будет измеряться у каждого участника через 12 недель назначенного лечения. Основываясь на предыдущем опыте проведения аналогичных испытаний, исследователь ожидает, что 10% всех участников будут потеряны для последующего наблюдения или выбыли из исследования. Если новый препарат показывает снижение среднего систолического артериального давления на 5 единиц, это будет представлять собой клинически значимое снижение. Сколько пациентов следует включить в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для выявления этой разницы? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Чтобы вычислить величину эффекта, необходима оценка вариабельности систолического артериального давления. Анализ данных Framingham Heart Study показал, что стандартное отклонение систолического артериального давления составило 19,0. Это значение можно использовать для планирования испытания.

Размер эффекта:

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Образцы размера n ₁ = 232 и n ₂ = 232 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь мощность 80% для обнаружения разницы в 5 единиц среднего систолического артериального давления у пациентов, принимающих новый препарат, по сравнению с пациентами. получение плацебо.Однако исследователи выдвинули гипотезу о 10% отсеве (в обеих группах) и, чтобы обеспечить общий размер выборки 232, они должны учитывать отсев.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 232 / 0,90 = 258.

Исследователь должен зарегистрировать 258 участников, которые будут случайным образом распределены для приема нового препарата или плацебо.

Исследователь планирует исследование для оценки связи между потреблением алкоголя и средним баллом среди выпускников колледжа.План состоит в том, чтобы классифицировать студентов как сильно пьющих или не употребляющих 5 или более напитков в обычный день выпивки в качестве критерия алкоголя. Средние средние баллы будут сравниваться между учащимися, отнесенными к категории сильно пьющих, по сравнению с не использующими две независимые выборки проверки средних значений. Предполагается, что стандартное отклонение средних баллов составляет 0,42, а значимая разница в средних баллах (относительно статуса потребления алкоголя) составляет 0,25 единицы. Сколько выпускников колледжа должны быть включены в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для определения 0.25 единиц разницы в среднем среднем балле? Используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Ответ

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы о средней разнице в переменной непрерывного результата на основе сопоставленных данных, представляют интерес гипотезы:

против

, где μ _d — средняя разница в генеральной совокупности. Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него, 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающее 1- β ниже него, а ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

, где μ _d — средняя разность, ожидаемая согласно альтернативной гипотезе, H ₁ , а σ _d — стандартное отклонение разности в результате (например,g., разница, основанная на измерениях с течением времени или разница между согласованными парами).

Пример 10:

Исследователь хочет оценить эффективность лечения иглоукалыванием для уменьшения боли у пациентов с хронической мигренью. Планируется набор пациентов, страдающих мигренью. Каждого перед тем, как назначить какое-либо лечение, попросят оценить серьезность боли, которую он испытывает при следующей мигрени.Боль будет регистрироваться по шкале от 1 до 100, причем более высокие баллы указывают на более сильную боль. Затем каждому пациенту будет проведено лечение иглоукалыванием. При следующей мигрени (после лечения) каждого пациента снова попросят оценить тяжесть боли. Разница в боли будет рассчитана для каждого пациента. Будет проведена двусторонняя проверка гипотезы при α = 0,05, чтобы оценить, существует ли статистически значимая разница в оценке боли до и после лечения. Сколько пациентов должно быть вовлечено в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста 80% позволяет выявить разницу в 10 единиц по шкале боли? Предположим, что стандартное отклонение разницы оценок составляет примерно 20 единиц.

Сначала вычислите размер эффекта:

Затем подставьте размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборка размером n = 32 пациента с мигренью гарантирует, что двухсторонний тест с α = 0,05 имеет 80% мощности для определения средней разницы в 10 баллов боли до и после лечения, при условии, что все 32 пациента завершили лечение. .

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая пропорции успехов в двух независимых популяциях, представляют интерес гипотезы:

H ₀ : p ₁ = p _{2 по сравнению с} H ₁ : p ₁ ≠ p ₂

, где p ₁ и p ₂ — пропорции в двух сравниваемых совокупностях.Формула для определения размеров выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, содержащего 1- α. / 2 ниже, а 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- β ниже него. ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

,

где | p ₁ — p ₂ | — абсолютное значение разницы в пропорциях между двумя группами, ожидаемых согласно альтернативной гипотезе, H ₁ , а p — общая пропорция, основанная на объединении данных из двух групп сравнения (p можно вычислить, взяв среднее значение пропорций в двух группах сравнения, предполагая, что группы будут примерно одинакового размера).

Пример 11:

Исследователь выдвинул гипотезу о более высокой заболеваемости гриппом среди студентов, регулярно пользующихся спортивными сооружениями, чем среди их сверстников, которые этого не делают. Исследование будет проведено весной. Каждого ученика спросят, пользовались ли они спортивным сооружением регулярно в течение последних 6 месяцев и не болели ли они гриппом. Будет проведена проверка гипотезы для сравнения доли студентов, которые регулярно использовали спортивные сооружения и заболели гриппом, с долей студентов, которые этого не сделали и заболели гриппом.В течение обычного года примерно 35% студентов болеют гриппом. Исследователи считают, что увеличение заболеваемости гриппом на 30% среди тех, кто регулярно пользовался спортивным сооружением, было бы клинически значимым. Сколько студентов должно быть привлечено к исследованию, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80%, чтобы обнаружить эту разницу в пропорциях? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала мы вычисляем величину эффекта, подставляя доли учащихся в каждой группе, у которых ожидается заболевание гриппом, p ₁ = 0.46 (т.е. 0,35 * 1,30 = 0,46) и p ₂ = 0,35, а общая пропорция, p = 0,41 (т.е. (0,46 + 0,35) / 2):

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборки размера n ₁ = 324 и n ₂ = 324 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для выявления 30% -ной разницы в пропорциях учащихся, заболевших гриппом, между теми, кто болеет, и не болеет. регулярно пользоваться спортивными сооружениями.

Донорские фекалии? Действительно? Clostridium difficile (также называемая «C. difficile» или «C. diff.») Представляет собой бактериальный вид, который можно найти в толстой кишке человека, хотя его численность контролируется другой нормальной флорой толстой кишки. Антибиотикотерапия иногда снижает нормальную флору в толстой кишке до такой степени, что процветает C. difficile и вызывается инфекция с симптомами, варьирующимися от диареи до опасного для жизни воспаления толстой кишки. Болезнь от C.difficile чаще всего поражает пожилых людей в больницах или учреждениях длительного ухода и обычно возникает после приема антибиотиков. В последние годы инфекции, вызванные C. difficile, стали более частыми, тяжелыми и трудно поддающимися лечению. По иронии судьбы, C. difficile сначала лечится путем прекращения приема антибиотиков, если они все еще назначаются. Если это не помогло, инфекцию вылечили путем перехода на другой антибиотик. Однако лечение другим антибиотиком часто не излечивает C.difficile. Были спорадические сообщения об успешном лечении путем вливания фекалий здоровых доноров в двенадцатиперстную кишку пациентов, страдающих C. difficile. (Юк!) Это восстанавливает нормальную микробиоту в толстой кишке и противодействует чрезмерному росту C. diff. Эффективность этого подхода была проверена в рандомизированном клиническом исследовании, опубликованном в Медицинском журнале Новой Англии (январь 2013 г.). Исследователи планировали случайным образом распределить пациентов с рецидивирующей инфекцией C. difficile либо на антибактериальную терапию, либо на дуоденальную инфузию донорских фекалий.Чтобы оценить размер необходимой пробы, исследователи предположили, что инфузия кала будет успешной в 90% случаев, а антибактериальная терапия будет успешной в 60% случаев. Сколько субъектов потребуется в каждой группе, чтобы гарантировать, что мощность исследования составляет 80% с уровнем значимости α = 0,05?

Ответ

Определение подходящего дизайна исследования более важно, чем статистический анализ; плохо спланированное исследование никогда нельзя спасти, тогда как плохо проанализированное исследование можно повторно проанализировать.Важнейшим компонентом дизайна исследования является определение подходящего размера выборки. Размер выборки должен быть достаточно большим, чтобы адекватно ответить на вопрос исследования, но не слишком большим, чтобы охватить слишком много пациентов, когда было бы достаточно меньшего. Определение подходящего размера выборки включает статистические критерии, а также клинические или практические соображения. Определение размера выборки требует совместной работы; биостатисты должны работать в тесном сотрудничестве с клиническими исследователями, чтобы определить размер выборки, которая будет решать интересующий вопрос исследования с достаточной точностью или мощностью для получения клинически значимых результатов.

В следующей таблице приведены формулы размера выборки для каждого описанного здесь сценария. Формулы организованы по предлагаемому анализу, оценке доверительного интервала или проверке гипотез.

1. Бушман Н.А., Фостер Дж., Викерс П.Девочки-подростки и их дети: достижение оптимальной массы тела при рождении. Гестационная прибавка в весе и исход беременности с точки зрения гестации при родах и веса новорожденного: сравнение между подростками до 16 лет и взрослыми женщинами. Ребенок: уход, здоровье и развитие. 2001; 27 (2): 163-171.
2. Feuer EJ, Wun LM. ДЕВКАН: Вероятность развития или смерти от рака. Версия 4.0 .Bethesda, MD: Национальный институт рака, 1999.
3. Хауэлл, округ Колумбия. Статистические методы психологии.Бостон, Массачусетс: Duxbury Press, 1982.
4. Fleiss JL. Статистические методы расчета ставок и пропорций. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., 1981.
5. Национальный центр статистики здравоохранения. Здоровье, США, 2005 г., с диаграммой тенденций в области здоровья американцев. Хяттсвилл, Мэриленд: Типография правительства США; 2005.
6. Пласкон, Лос-Анджелес, Пенсон Д.Ф., Воган, Т.Л., Стэнфорд, Дж. Л. Курение сигарет и риск рака простаты у мужчин среднего возраста. Биомаркеры и профилактика эпидемиологии рака.2003; 12: 604-609.
7. Rutter MK, Meigs JB, Sullivan LM, D’Agostino RB, Wilson PW. C-реактивный белок, метаболический синдром и прогноз сердечно-сосудистых событий в исследовании Framingham Offspring Study. Тираж. 2004; 110: 380-385.
8. Рамачандран В., Салливан Л.М., Уилсон П.В., Семпос, CT, Сандстрем Дж., Каннел В.Б., Леви Д., Д’Агостино, РБ. Относительное значение пограничных и повышенных уровней факторов риска ишемической болезни сердца. Анналы внутренней медицины. 2005; 142: 393-402.
9. Векслер Х., Ли Дж. Э., Куо М., Ли Х. Выпивка в колледже в 1990-е годы: постоянная проблема Результаты Гарвардской школы общественного здравоохранения, 1999 г., Здоровье колледжей, 2000 г .; 48: 199-210.

Ответ на вопрос о весе при рождении — стр. 3

Исследователь хочет оценить средний вес при рождении доношенных детей (примерно 40 недель беременности) от матерей в возрасте 19 лет и младше. Средний вес новорожденных, рожденных доношенными от матерей в возрасте 20 лет и старше, составляет 3 510 граммов со стандартным отклонением 385 граммов.Сколько женщин в возрасте 19 лет и младше должны быть включены в исследование, чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении их младенцев с доверительным интервалом 95% имеет предел погрешности, не превышающий 100 граммов?

Чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении с доверительным интервалом 95% находится в пределах 100 граммов от истинного среднего, необходима выборка размером 57. При планировании исследования исследователь должен учитывать тот факт, что у некоторых женщин могут возникать преждевременные роды.Если женщины будут включены в исследование во время беременности, то необходимо будет включить в исследование более 57 женщин, чтобы после исключения преждевременных родов 57 женщин с информацией о результатах были доступны для анализа. Например, если ожидается, что 5% женщин родят преждевременно (т.е. 95% родят доношенными), то необходимо включить 60 женщин, чтобы гарантировать, что 57 роды будут доношенными. Количество женщин, которые должны быть зачислены, N, рассчитывается следующим образом:

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

N (0.95) = 57

N = 57 / 0,95 = 60,

Ответ Курение первокурсников — стр. 4

Предположим, что подобное исследование было проведено 2 года назад и обнаружило, что распространенность курения среди первокурсников составляет 27%. Если исследователь считает, что это разумная оценка распространенности через 2 года, ее можно использовать для планирования следующего исследования. Используя эту оценку p, какой размер выборки необходим (при условии, что снова будет использоваться 95% доверительный интервал и нам нужен такой же уровень точности)?

Чтобы гарантировать, что оценка 95% доверительного интервала доли курящих первокурсников находится в пределах 5% от истинной доли, необходима выборка размером 303.Обратите внимание, что этот размер выборки существенно меньше, чем рассчитанный выше. Наличие некоторой информации о величине доли в генеральной совокупности всегда дает размер выборки, который меньше или равен тому, который основан на доле генеральной совокупности 0,5. Однако оценка должна быть реалистичной.

Ответ на проблему с медицинским устройством — стр. 7

Производитель медицинского оборудования производит имплантируемые стенты. В процессе производства приблизительно 10% стентов считаются дефектными.Производитель хочет проверить, не превышает ли доля дефектных стентов 10%. Если в результате процесса образуется более 15% дефектных стентов, необходимо предпринять корректирующие действия. Поэтому производитель хочет, чтобы тест имел мощность 90%, чтобы обнаруживать разницу в пропорциях такой величины. Сколько стентов необходимо оценить? Для расчетов используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Затем подставьте размер эффекта и соответствующие значения z для выбранных альфа и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Размер выборки из 364 стентов гарантирует, что двусторонний тест с α = 0,05 будет иметь мощность 90% для обнаружения 0,05 или 5% разницы в пропорции произведенных дефектных стентов.

Ответ на алкоголь и средний балл — стр. 8

Исследователь планирует исследование для оценки связи между потреблением алкоголя и средним баллом среди выпускников колледжа. План состоит в том, чтобы классифицировать студентов как сильно пьющих или не употребляющих 5 или более напитков в обычный день выпивки в качестве критерия алкоголя.Средние средние баллы будут сравниваться между учащимися, отнесенными к категории сильно пьющих, по сравнению с не использующими две независимые выборки проверки средних значений. Предполагается, что стандартное отклонение средних баллов составляет 0,42, а значимая разница в средних баллах (относительно статуса потребления алкоголя) составляет 0,25 единицы. Сколько выпускников колледжа должны быть включены в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80%, чтобы выявить разницу в 0,25 единицы в средних средних баллах? Используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала вычислите размер эффекта.

Теперь замените размер эффекта и соответствующие значения z на альфа и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Размер выборки n _i = 44 сильно пьющих и 44, которые выпивают менее пяти напитков за обычный день, гарантирует, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для выявления разницы в 0,25 единицы средних средних баллов.

Ответ на донорские фекалии — страница 8

Сначала мы вычисляем величину эффекта, подставляя доли пациентов, которые, как ожидается, будут излечены при каждом лечении, p ₁ = 0.6 и p ₂ = 0,9, а общая пропорция p = 0,75:

Теперь мы заменяем размер эффекта и соответствующие значения Z на выбранные a и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Образцы размера n ₁ = 33 и n ₂ = 33 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для обнаружения этой разницы в долях пациентов, излечившихся от C. diff. инфузией кала по сравнению с терапией антибиотиками.

Фактически, исследователи включили по 38 в каждую группу, чтобы учесть отсев. Тем не менее, после промежуточного анализа исследование было остановлено. Из 16 пациентов в группе инфузии у 13 (81%) отмечалось исчезновение диареи, связанной с C. difficile, после первой инфузии. Остальным 3 пациентам была проведена вторая инфузия с фекалиями от другого донора с разрешением у 2 пациентов. Излечение C. difficile произошло только у 4 из 13 пациентов (31%), получавших антибиотик ванкомицин.

Электроэнергия и энергия | Безграничная физика

Энергопотребление

Используемая энергия — это временной интеграл от электрической мощности.

Цели обучения

Сформулируйте взаимосвязь между использованием энергии и электрической мощностью

Основные выводы

Ключевые моменты

• Напомним, что мощность — это скорость выполнения работы или скорость, с которой энергия потребляется или производится.По току и напряжению это P = IV.
• Используемая энергия — это количество заряда q, прошедшего через напряжение V за интервал времени t. Он равен интегралу мощности во времени.
• Распространенной единицей, используемой для описания энергопотребления, является киловатт-час, энергия 1000 Вт, действующая в течение одного часа.

Ключевые термины

• киловатт-час : единица электрической энергии, равная мощности одного киловатта, действующего в течение одного часа; равняется 3,6 мегаджоулей.Обозначение: кВтч.

Во многих случаях необходимо рассчитать потребление энергии электрическим устройством или набором устройств, например, в доме. Например, мы (или энергокомпания) можем захотеть рассчитать сумму задолженности за потребленную электроэнергию. В другом случае нам может потребоваться определить энергию, необходимую для питания компонента или устройства в течение заданного периода времени. Последнее различие имеет решающее значение — энергия, используемая схемой или компонентом, равна интегралу по времени от электрической мощности .

Мощность

Напомним, что мощность — это скорость выполнения работы или скорость, с которой энергия потребляется или производится, и измеряется в ваттах (Вт). Электрическая мощность в ваттах, вырабатываемая электрическим током I, состоящим из заряда Q кулонов каждые t секунд, проходящего через разность электрических потенциалов (напряжений) V, равна [латекс] \ text {P} = \ frac {\ text {QV} } {\ text {t}} = \ text {IV} [/ latex], где Q — электрический заряд в кулонах, t — время в секундах, I — электрический ток в амперах, а V — электрический потенциал или напряжение в вольтах.2} {\ text {R}} [/ latex], где R — электрическое сопротивление. Власть не обязательно постоянна; он может меняться со временем. Тогда общее выражение для электроэнергии

[латекс] \ text {P} (\ text {t}) = \ text {I} (\ text {t}) \ text {V} (\ text {t}) [/ latex]

, где ток I и напряжение V могут изменяться во времени.

Энергия

В любом заданном временном интервале потребляемая (или предоставляемая, в зависимости от вашей точки зрения) энергия определяется выражением [latex] \ text {PE} = \ text {qV} [/ latex], где E — электрическая энергия, V — напряжение, а q — количество заряда, перемещенного за рассматриваемый интервал времени.Мы можем связать общую потребляемую энергию с мощностью, интегрируя по времени: Положительная энергия соответствует потребляемой энергии, а отрицательная энергия соответствует производству энергии. Обратите внимание, что элемент схемы, имеющий как положительный, так и отрицательный профиль мощности в течение некоторого промежутка времени, может потреблять или производить энергию в соответствии со знаком интеграла мощности. Если мощность постоянна в течение временного интервала, то энергию можно просто выразить как:

[латекс] \ text {E} = \ text {Pt} [/ latex].

Единицы потребления энергии

Мы, конечно, хорошо знакомы с единицей измерения энергии в системе СИ — джоуль. Однако, как правило, в счетах за электроэнергию домохозяйства указывается потребление энергии в киловатт-часах (кВтч). Кроме того, это устройство часто встречается в других местах, когда рассматривается использование энергии энергопотребляющими устройствами, структурами или юрисдикциями. Мы можем проанализировать преобразование киловатт-часов в джоули следующим образом: 1 Вт = 1 Дж / с, киловатт равен 1000 Вт, а один час равен 3600 секундам, поэтому 1 кВт-ч равен (1000 Дж / с) (3600 с). = 3 600 000 джоулей.Это масштаб домашнего использования энергии в США, который составляет порядка сотен киловатт-часов в месяц.

Снижение потребления энергии

Потребляемая электрическая энергия (E) может быть уменьшена либо за счет сокращения времени использования, либо за счет снижения энергопотребления этого прибора или приспособления. Это не только снизит стоимость, но и снизит воздействие на окружающую среду. Улучшение освещения — один из самых быстрых способов снизить потребление электроэнергии в доме или на работе.Около 20% энергии в доме расходуется на освещение, в то время как в коммерческих учреждениях эта цифра приближается к 40%. Флуоресцентные лампы примерно в четыре раза эффективнее ламп накаливания — это верно как для длинных ламп, так и для компактных люминесцентных ламп (КЛЛ). Таким образом, лампу накаливания мощностью 60 Вт можно заменить КЛЛ мощностью 15 Вт, которая имеет такую ​​же яркость и цвет. КЛЛ имеют изогнутую трубку внутри шара или трубку спиральной формы, все они подключены к стандартному привинчиваемому основанию, которое подходит для стандартных розеток лампы накаливания.(Первоначальные проблемы с цветом, мерцанием, формой и высокими начальными затратами на КЛЛ были решены в последние годы.) Теплопередача от этих КЛЛ меньше, и они служат до 10 раз дольше.

Компактный люминесцентный светильник (КЛЛ) : КЛЛ намного более эффективны, чем лампы накаливания, и поэтому потребляют гораздо меньше энергии для получения яркого света.

Учебное пособие по физике: новый взгляд на электрическую энергию

В предыдущем разделе Урока 3 подробно рассказывалась о зависимости тока от разности электрических потенциалов и сопротивления.Ток в электрическом устройстве прямо пропорционален разности электрических потенциалов, приложенной к устройству, и обратно пропорционален сопротивлению устройства. Если это так, то скорость, с которой это устройство преобразует электрическую энергию в другие формы, также зависит от тока, разности электрических потенциалов и сопротивления. В этом разделе Урока 3 мы вернемся к концепции мощности и разработаем новые уравнения, которые выражают мощность через ток, разность электрических потенциалов и сопротивление.

В Уроке 2 было введено понятие электроэнергии. Электрическая мощность была определена как скорость, с которой электрическая энергия подается в цепь или потребляется нагрузкой. Уравнение для расчета мощности, подаваемой в цепь или потребляемой нагрузкой, было получено равным

(Уравнение 1)

Две величины, от которых зависит мощность, связаны с сопротивлением нагрузки по закону Ома.Разность электрических потенциалов ( ΔV ) и ток ( I ) могут быть выражены в терминах их зависимости от сопротивления, как показано в следующих уравнениях.

Если выражения для разности электрических потенциалов и тока подставить в уравнение мощности, можно вывести два новых уравнения, которые связывают мощность с током и сопротивлением, а также с разностью электрических потенциалов и сопротивлением.Эти выводы показаны ниже.

Теперь у нас есть три уравнения для электрической мощности, два из которых получены из первого с использованием уравнения закона Ома.Эти уравнения часто используются в задачах, связанных с вычислением мощности на основе известных значений разности электрических потенциалов (ΔV), тока (I) и сопротивления (R). Уравнение 2 связывает скорость, с которой электрическое устройство потребляет энергию, с током в устройстве и сопротивлением устройства. Обратите внимание на двойную важность тока в уравнении, обозначенную квадратом тока. Уравнение 2 можно использовать для расчета мощности при условии, что известны сопротивление и ток.Если одно из них неизвестно, то необходимо будет либо использовать одно из двух других уравнений для расчета мощности, либо использовать уравнение закона Ома для расчета количества, необходимого для использования уравнения 2.

Уравнение 3 связывает скорость, с которой электрическое устройство потребляет энергию, с падением напряжения на устройстве и сопротивлением устройства. Обратите внимание на двойную важность падения напряжения, обозначенную квадратом ΔV. Уравнение 3 можно использовать для расчета мощности при условии, что известны сопротивление и падение напряжения.Если одно из них неизвестно, важно либо использовать одно из двух других уравнений для расчета мощности, либо использовать уравнение закона Ома для расчета количества, необходимого для использования уравнения 3.

Хотя эти три уравнения предоставляют удобные формулы для вычисления неизвестных величин в физических задачах, нужно быть осторожным, чтобы не использовать их неправильно, игнорируя концептуальные принципы, касающиеся схем.Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что вам задали такой вопрос: если бы 60-ваттную лампу в бытовой лампе заменить на 120-ваттную лампу, то во сколько раз ток в цепи этой лампы был бы больше? Используя уравнение 2, можно предположить (ошибочно), что удвоение мощности означает, что количество I ² должно быть удвоено. Таким образом, ток должен увеличиться в 1,41 раза (квадратный корень из 2). Это пример неправильного рассуждения, поскольку он удаляет математическую формулу из контекста электрических цепей.Принципиальная разница между лампочкой на 60 Вт и лампой на 120 Вт заключается не в токе в лампе, а в ее сопротивлении. У этих двух лампочек разные сопротивления; разница в токе — это просто следствие этой разницы в сопротивлении. Если лампы находятся в патроне лампы, который подключен к розетке в США, то можно быть уверенным, что разность электрических потенциалов составляет около 120 вольт. ΔV будет одинаковым для каждой лампы.Лампа мощностью 120 Вт имеет меньшее сопротивление; и, используя закон Ома, можно было бы ожидать, что он также имеет более высокий ток. Фактически, 120-ваттная лампа будет иметь ток 1 А и сопротивление 120 Ом; 60-ваттная лампа будет иметь ток 0,5 А и сопротивление 240 Ом.

Теперь, правильно используя уравнение 2, можно понять, почему удвоенная мощность означает, что будет удвоенный ток, поскольку сопротивление также изменяется при замене лампочки. Расчет тока ниже дает тот же результат, что и выше.

1. Что будет толще (шире) — нить накала 60-ваттной лампочки или 100-ваттная? Объяснять.

2.Вычислите сопротивление и силу тока ночной лампочки 7,5 Вт, подключенной к розетке в США (120 В).

3. Рассчитайте сопротивление и силу тока электрического фена мощностью 1500 Вт, подключенного к бытовой розетке в США (120 В).

4. Коробка на настольной пиле показывает, что сила тока при запуске составляет 15 ампер. Определите сопротивление и мощность двигателя за это время.

5. На наклейке на проигрывателе компакт-дисков написано, что он потребляет ток 288 мА при питании от 9-вольтовой батареи. Какая мощность (в ваттах) у проигрывателя компакт-дисков?

6. Тостер на 541 Вт подключается к бытовой розетке на 120 В. Какое сопротивление (в Ом) тостера?

7.Цветной телевизор имеет ток 1,99 А при подключении к 120-вольтовой электросети. Какое сопротивление (в Ом) у телевизора? А какая мощность (в ваттах) у телевизора?

Мощность

Мощность — это скорость выполнения работы. Это соотношение работы / времени. Математически это вычисляется с использованием следующего уравнения.

или

P = Вт / т

Стандартная метрическая единица измерения мощности — Вт . Как следует из уравнения мощности, единица мощности эквивалентна единице работы, деленной на единицу времени.Таким образом, ватт эквивалентен джоулям в секунду. По историческим причинам иногда используется для описания мощности, выдаваемой машиной. Одна лошадиная сила эквивалентна примерно 750 Вт.

Большинство машин спроектировано и построено для работы с объектами. Все машины обычно характеризуются номинальной мощностью. Номинальная мощность указывает скорость, с которой эта машина может работать с другими объектами. Таким образом, мощность машины — это соотношение работы / времени для этой конкретной машины.Автомобильный двигатель — это пример машины, которой задана номинальная мощность. Номинальная мощность относится к тому, насколько быстро автомобиль может разгонять автомобиль. Предположим, что двигатель мощностью 40 лошадиных сил может разогнать автомобиль от 0 миль / час до 60 миль / час за 16 секунд. Если бы это было так, то автомобиль с четырехкратной мощностью в лошадиных силах мог бы выполнять такой же объем работы за четверть времени. То есть 160-сильный двигатель мог разогнать тот же автомобиль с 0 миль / час до 60 миль / час за 4 секунды. Дело в том, что при одинаковом объеме работы мощность и время обратно пропорциональны.Уравнение мощности предполагает, что более мощный двигатель может выполнять такой же объем работы за меньшее время.

Человек — это также машина с номинальной мощностью . Некоторые люди более полны власти, чем другие. То есть некоторые люди способны выполнять тот же объем работы за меньшее время или больше за то же время. Обычная физическая лаборатория включает в себя быстрый подъем по лестнице и использование информации о массе, росте и времени для определения личных возможностей ученика.Несмотря на диагональное движение по лестнице, часто предполагается, что горизонтальное движение является постоянным, и вся сила от ступенек используется для подъема ученика вверх с постоянной скоростью. Таким образом, вес ученика равен силе, которая воздействует на ученика, а высота лестницы — это смещение вверх. Предположим, что Бен Пумпинирон поднимает свое 80-килограммовое тело по 2,0-метровой лестнице за 1,8 секунды. Если бы это было так, то мы могли бы вычислить номинальную мощность Бена .Можно предположить, что Бен должен приложить к лестнице нисходящую силу 800 Ньютон, чтобы поднять свое тело. Поступая таким образом, лестница толкала тело Бена вверх с достаточной силой, чтобы поднять его тело вверх по лестнице. Также можно предположить, что угол между силой лестницы на Бена и смещением Бена равен 0 градусов. Используя эти два приближения, можно определить номинальную мощность Бена, как показано ниже.

Номинальная мощность Бена — 871 Вт. Он вполне себе лошадь .

Выражение для мощности — работа / время. А поскольку выражение для работы — это сила * смещение, выражение для мощности можно переписать как (сила * смещение) / время. Поскольку выражение для скорости — это смещение / время, выражение для мощности можно еще раз переписать как «сила * скорость». Это показано ниже.

Это новое уравнение мощности показывает, что мощная машина одновременно сильна (большая сила) и быстра (большая скорость).Мощный автомобильный двигатель — сильный и быстрый. Мощная сельскохозяйственная техника — прочная и быстрая. Сильный тяжелоатлет силен и быстр. Сильный лайнсмен футбольной команды силен и быстр. Машина , которая достаточно сильна, чтобы приложить большую силу, чтобы вызвать смещение за небольшой промежуток времени (то есть с большой скоростью), является мощной машиной.

Используйте свое понимание работы и силы, чтобы ответить на следующие вопросы.По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

1. Два студента-физика, Уилл Н. Эндейбл и Бен Пумпинирон, в зале для тяжелой атлетики. Уилл поднимает 100-фунтовую штангу над головой 10 раз за одну минуту; Бен поднимает 100-фунтовую штангу над головой 10 раз за 10 секунд. Какой студент больше всего работает? ______________ Какой ученик дает больше всего энергии? ______________ Объясните свои ответы.

2.Во время физической лаборатории Джек и Джилл взбежали на холм. Джек вдвое массивнее Джилл; тем не менее, Джилл преодолевает то же расстояние за половину времени. Кто работал больше всего? ______________ Кто доставил больше всего энергии? ______________ Объясните свои ответы.

3. Уставшая белка (масса около 1 кг) отжимается, прикладывая силу, поднимающую ее центр масс на 5 см, чтобы выполнить работу всего на 0,50 Дж.Если уставшая белка проделает всю эту работу за 2 секунды, то определите ее мощность.

4. Выполняя подтягивание , студентка-физик поднимает свое тело весом 42,0 кг на расстояние 0,25 метра за 2 секунды. Какую силу развивают бицепсы ученика?

5.Ежемесячный счет за электроэнергию в вашей семье часто выражается в киловатт-часах. Один киловатт-час — это количество энергии, доставленное потоком 1 киловатт электроэнергии за один час. Используйте коэффициенты преобразования, чтобы показать, сколько джоулей энергии вы получаете, покупая 1 киловатт-час электроэнергии.

6. Эскалатор используется для перемещения 20 пассажиров каждую минуту с первого этажа универмага на второй.Второй этаж находится на высоте 5,20 метра от первого этажа. Средняя масса пассажира — 54,9 кг. Определите требуемую мощность эскалатора, чтобы переместить это количество пассажиров за это время.

Электрические формулы

Общие электрические единицы, используемые в формулах и уравнениях:

• Вольт — единица электрического потенциала или движущей силы — потенциал требуется для передачи одного ампера тока через сопротивление 1 Ом
• Ом — единица сопротивления — один ом — это сопротивление, обеспечиваемое прохождению одного ампера при подаче одного вольта
• Ампер — единицы тока — один ампер — это ток, который один вольт может передать через сопротивление в один ом
• Ватт — единица электрической энергии или мощности — один ватт равен произведению одного ампера на один вольт — один ампер тока, протекающего под действием силы одного вольта, дает один ватт энергии
• Вольт ампер — произведение вольт и амперы, показанные вольтметром и амперметром — в системах постоянного тока вольт-ампер совпадает с ваттами или доставленной энергией — в системах переменного тока — t Вольт и ампер могут быть или не быть на 100% синхронными — при синхронности вольт-амперы равны ваттам на ваттметре — когда несинхронные вольт-амперы превышают ватты — реактивная мощность
• киловольт-ампер — один киловольт-ампер — кВА — равно до 1000 вольт-ампер
• Коэффициент мощности — отношение ватт к вольт-амперам

Электрический потенциал — закон Ома

Закон Ома можно выразить как:

U = RI (1a)

U = P / I (1b)

U = (PR) ^1/2 (1c)

Скачать и распечатать Закон Ома

Электрический ток — Закон Ома

I = U / R (2a)

I = P / U (2b)

I = (P / R) ^1/2 (2c)

Электрическое сопротивление — закон Ома

R = U / I (3a)

R = U ² / P (3b)

R = P / I ² (3c)

Пример — закон Ома

Батарея 12 вольт обеспечивает питание с сопротивлением 18 Ом .

I = (12 В) / (18 Ом )

= 0,67 (A)

Электроэнергия