Полная мощность цепи переменного синусоидального тока: Мощность цепи синусоидального тока | Учебные материалы

Электрические цепи синусоидального тока в электротехнике (ТОЭ)

Содержание:

В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.

При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока.

Активным сопротивлением R обладают элементы, которые нагреваются при прохождении через них тока (проводники, лампы накаливания, нагревательные приборы и т.д.).

Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено синусоидальное напряжение

где 

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, так как начальные фазы их равны ( = 0). Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на рис. 11.1в.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с активным сопротивлением имеет вид:

Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части уравнения разделить на =1,41.

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I пропорционально действующему значению синусоидального напряжения U и обратно пропорционально сопротивлению R участка цепи, к которому приложено напряжение U. Такая интерпретация закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для действующих и амплитудных значений синусоидального тока.

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением определяется произведением мгновенных значений напряжения ка, т. е. р = ui. Это действие производится над кривыми тока и ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате учена временная диаграмма мгновенной мощности р. Как видно из временной диаграммы, мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) необратима. От источника она поступает на потребитель и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется. Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное образование, называется активным сопротивлением, цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность характеризует скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется следующим образом:

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин -постоянной мощности UI и переменной , изменяющейся с двойной частотой.

Средняя за период мощность, равная постоянной составляющей мгновенной мощности UI, является активной мощностью Р. Среднее за период значение переменной составляющей, как и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома определяется выражением:

где U- действующее значение напряжения; I— действующее значение тока.

Единицей активной мощности является ватт:

Сопротивление проводника постоянному току называют омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8)  Сопротивление проводника переменному току R называют активным.

Оказывается, что сопротивление проводника переменному току больше его омического сопротивления за счет так называемого поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е.

Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).

На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилиндрического сечения. Если по проводнику проходит переменный ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне проводника. Этот поток в различных сечениях проводника индуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Ленца. противодействует изменению тока как причине создания ЭДС Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством магнитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопротивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и называется поверхностным эффектом.

Таким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение проводника для переменного тока, а следовательно, увеличивает активное сопротивление R.

Отношение активного сопротивления проводника к его сопротивлению определяет коэффициент поверхностного эффекта (кси)

График зависимости коэффициента поверхностного эффекта от параметра проводника d, его удельной проводимости , магнитной проницаемости материала проводника и частоты переменного тока , проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.

При токах большой частоты (радиочастотах) ток в центре проводника отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубчатыми, т.е. полыми.

На величину активного сопротивления проводника R оказывает влияние и эффект близости.

Если токи в двух параллельных проводах, расположенных близко друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения водников, удаленных на большее расстояние друг от друга, цепляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую плотность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сечения проводников, расположенные близко друг к другу.

Если же токи в близко расположенных параллельных проводах направлены в различные стороны, то большая плотность тока на-дается в элементах сечения проводников, расположенных ближе друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).

Таким образом, эффект близости в проводниках также влияет активное сопротивление проводников за счет наведения в различных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимоиндукции, направление которых определяется правилом Ленца.

Идеальной называют индуктивность L такой катушки, активным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь, т.е. R= О и С=0.

Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а) проходит синусоидальный ток , то этот ток создает в катушке синусоидальный магнитный поток , который индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)

так как

Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения тогда, когда :

Тогда 

Таким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = (рис. 11.46, в).   

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно записать

Откуда

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью (см. (11.5)):

Очевидно, напряжение достигает своего амплитудного значения U_m тогда, когда :

Следовательно, 

Таким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-ивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-жону, но опережает ток по фазе на угол 90°= (рис. 11.46, в).

Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо ожить к цепи напряжение, которое в любой момент времени но по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной таким током (рис. 11.46, в).

Временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует правило Ленца: ЭДС противодействует изменению тока.

Если уравнение (11.10) разделить на =1,41, то получается =, откуда

Это уравнение (11.12а) и есть математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное, как сопротивление, которое называют индуктивным сопротивлением X_L.

Таким образом,

Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:

Индуктивное сопротивление X_L — это противодействие, которое ЭДС самоиндукции e_L оказывает изменению тока.

Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеальной катушкой равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

где

Следовательно,

Полученное уравнение умножают и делят на 2:

Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Следовательно, среднее значение этой мощности за период Яс, как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляемая мощность, в этой цепи равна нулю, Р= 0.

Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На диаграмме видно, что мгновенная мощность () в рассматриваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в магнитном поле индуктивности. Максимальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной катушки энергии по (9.12) равно

Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из магнитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушки мощность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источником и магнитным полем индуктивности, загружая источник и провода.

Такая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной, потребляемой, называется реактивной.

Обозначается реактивная мощность буквой Q и измеряется в варах, т.е. [Q]=вар (вольт-ампер реактивный).

Величина реактивной мощности в рассматриваемой цепи определяется выражением

Так как реактивная мощность Q_L имеет место в цепи с индуктивным сопротивлением, то индуктивное сопротивление считается реактивным сопротивлением X индуктивного характера, т. е. X_L.

Если конденсатор емкостью С подключить к источнику с постоянным напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на конденсаторе U_c не станет равным напряжению источника U.

Ток в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутствует (амперметр А покажет I=0).

Если же конденсатор подключить к источнику с синусоидальным напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора существует все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот ток. Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с синусоидальным напряжением, имеет место потому, что напряжена конденсаторе U_c отстает по фазе от напряжения источника и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока напряжение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение источника достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заряжается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряжение источника уменьшится до напряжения 3 — конденсатор разряжается на источник и т.д. Однако ток проходит только в цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не проходит.

Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено синусоидальное напряжение , то в цепи конденсатора проходит ток i (рис. 11.6а):

где q= Си согласно (6.3).

Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного значения тогда, когда :

Тогда 

Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол 90°=

Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = (рис. 11.66). 

Если уравнение (11.17) разделить на = 1,41, то получится равенство или

Это равенство (11.19а) и является математическим выражением закона Ома для цепи переменного тока с емкостью.

Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлением конденсатора Х_с, которое называется емкостным сопротивлением:

Когда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:

Емкостное сопротивление — это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему (рис. 11,5а).

Если в цепи конденсатора емкостью = 0 (рис. 11.6а) проходит ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:

Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6), будет равно

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой (рис. 11.6в).

Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи 1С. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за период, имеет нулевое значение, Р= 0.

Это следует и из временной диаграммы (рис. 11.6в). На временной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощности р по синусоидальному закону происходит с двойной частотой: 2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника накапливается в электрическом поле конденсатора.

Максимальное значение энергии, накапливаемой в электрическом поле конденсатора, равно

В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности (энергии) между источником и электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не потребляемая мощность называется реактивной мощностью.

Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определяется выражением

Из временных диаграмм (рис. 11.4в, 11.6в) видно, что реактивная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и знак «минус» в уравнении (11.21) — аналитическом выражении мгновенной мощности в цепи с конденсатором.

Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкостным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается реактивным сопротивлением Х емкостного характера (Х_с).

Расчет электрических цепей синусоидального тока производится преимущественно с помощью векторных диаграмм. В нашей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей синусоидального тока, содержащих активное сопротивление R, активность L и емкость С в различных сочетаниях.

Если по цепи с реальной катушкой, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный ток (рис. 12.1а), то этот ток создает падение напряжения на активном сопротивлении проводников катушки и индуктивном сопротивлении катушки

Следовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных значений, приложенное к реальной катушке напряжение можно записать

Это равенство справедливо для неразветвленной цепи синусоидального тока с последовательно включенными активным сопротивлением R и индуктивным сопротивлением X_L (рис. 12.16).

Активное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и может быть записано . Индуктивное напряжение опережает ток на угол 90° = .

Мгновенное значение напряжения, приложенного к цепи, определяется алгебраической суммой мгновенных значений напряжений согласно (12.1). А действующее значение этого напряжения U определяется геометрической суммой их действующих значений

Это равенство лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.1 в).

Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение U, приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток на угол ф. Мгновенное значение этого напряжения может быть записано:

где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между током и напряжением для любой цепи переменного тока.

Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме (рис. 12.1 в) определяется напряжение

Откуда

Равенство (12.4) является математическим выражением закона Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индуктивным XL сопротивлениями в неразветвленной цепи.

Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивлением цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (полное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:

где Z_k — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катушки.

Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем виде можно записать

где Z — кажущееся сопротивление этой цепи.

Треугольник, все стороны которого изображены векторами напряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треугольник напряжений (рис. 12.2а).

Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматривать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-1ину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают сопротивления цепи, т. е. получится треугольник составлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются векторными величинами. Из треугольника сопротивлений можно определить:

Обычно тригометрические функции угла ф определяются из треугольника сопротивлений отношением (12.9).

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока цепи, то получится подобный прямоугольный треугольник, все стороны которого в определенном масштабе изображают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей (рис. 12.2в).

Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную мощность цепи

которая измеряется в вольт-амперах, т.е.

Однако потребляется в цепи только часть полной мощности — активная мощность

где cos ф показывает, какая часть полной мощности потребляется в цепи, поэтому cos ф называют коэффициентом мощности:

Полная мощность цепи S называется кажущейся. Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) записать:

Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для любой цепи синусоидального тока, по выражениям (12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.

Если в цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток , то он создает падение напряжения на активном сопротивлении и на емкостном сопротивлении . Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рис. 12.36.

Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол ф

Действующее значение напряжения U, приложенного к этой цепи, определяется по векторной диаграмме (рис. 12.3):

Откуда математическое выражение закона Ома для этой цепи:

Пример 12.1

К цепи с последовательно включенными сопротивлениями R= 8 Ом и Х_с= 6 Ом (рис. 12.3а) приложено напряжение U= 220 В. Определить ток цепи I, напряжение на активном и реактивном U_p участках, полную S, активную Р и реактивную Q мощности.

Решение

Для определения тока вычислим полное сопротивление цепи

Тогда ток будет равен

Напряжения на участках:

Полная мощность 

Активная мощность

Реактивная мощность

Если в неразветвленной цепи с R, L и С (рис. 12.4а) протекает синусоидальный ток , то он создает падение напряжения на всех участках цепи: и .

Мгновенное значение напряжения цепи определяется по формуле

Так как в рассматриваемой цепи включены два реактивных сопротивления X_L и Х_с, то возможны три режима работы цепи:

Векторная диаграмма цепи для режима изображена на рис. 12.46.

Знак перед углом сдвига фаз ф зависит от режима работы цепи Если в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное напряжение (сопротивление), т. е. , то цепь имеет индуктивный характер и напряжение U опережает по фазе ток .

Если в цепи преобладает емкостное напряжение (сопротивление), т.е. , то цепь имеет емкостной характер и напряжение U отстает по фазе от тока I (—ф).

Из векторной диаграммы (рис. 12.46) следует:

Сопротивление R может включать в себя сопротивление самостоятельного резистора или активное сопротивление реальной катушки и конденсатора.

Математическое выражение закона Ома для неразветвленной цепи с активным сопротивлением, индуктивностью и емкость:

где Z — полное (или кажущееся) сопротивление неразветвленной цепи с R, L и С, т. е.

На рис. 12.5 изображены треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для рассматриваемой цепи.

Знак и значение угла ф можно определить из треугольника сопротивлений (рис. 12.56):

или

Из выражений (12.20) и (12.21) видно, что если , то угол ф положителен (+ф), если , то угол ф отрицательный (—ф).

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что в цепи с R, L и С кроме активной мощности имеется реактивная мощность . Кроме того, в цепи происходит колебание мощности (меньшей из двух реактивных, в нашем случае U_c) между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем катушки индуктивности L, так как мощности Q_L и Q_c изменяются в противофазе. Но эта мощность (1—2 на рис. 12.5в) не считается реактивной, так как она не загружает источник и провода.

Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что реактивная мощность, которая загружает источник и провода, Q= Q_L— Q_c. Эта реактивная мощность (энергия) колеблется между источником и магнитным полем катушки индуктивности, так как

Полная мощность цепи определяется по формуле

Электрические цепи, в которых происходят периодические изменения токов, напряжений, энергии называются колебательными.

Для того чтобы исследовать резонансные явления, необходимо иметь представления о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальной катушки и конденсатора без потерь.

Если конденсатор емкостью С зарядить до напряжения U_m, то в электрическом поле этого конденсатора накопится энергия, максимальное значение которой согласно выражению (6.21):

Если к заряженному конденсатору подключить индуктивность L замыканием ключа К (рис. 12.6), то конденсатор будет

разряжаться через индуктивность переменным током i. При этом в индуктивности L создается ЭДС самоиндукции e_L, и в магнитном поле ее накапливается энергия, максимальное значение которой (9.12):

Источником энергии в этом контуре является конденсатор. Ток в контуре, состоящем из индуктивности L и конденсатора С, не прекращается даже когда конденсатор полностью разрядится. За счет ЭДС самоиндукции и энергии, накопившейся в магнитном поле индуктивности, конденсатор будет заряжаться, и энергия магнитного поля индуктивности переходит в электрическое поле конденсатора. При этом источником энергии в этом контуре является индуктивность. Дальше процесс повторяется.

Таким образом, в замкнутом контуре, состоящем из индуктивности и емкости, происходит колебание энергии между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем индуктивности L. Поэтому такой замкнутый контур называется колебательным контуром.

Колебание энергии в колебательном контуре происходит с определенной частотой , которую называют частотой собственных колебаний контура. Частоту собственных колебаний со0 определяют из условия равенства энергии электрического и магнитного полей:

так как из (11.19) в цепи переменного тока с емкостью

Откуда

Таким образом, частота собственных колебаний колебательного контура определяется параметрами этого контура L и С.

Если в колебательном контуре отсутствуют потери (идеальный контур), то колебания в нем будут незатухающими с неизменной амплитудой. Если в колебательном контуре имеется активное сопротивление, т.е. возникают потери, то колебания энергии в нем будут затухающие, с уменьшающейся амплитудой, если эти потери не компенсируются.

Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединенными конденсатором емкостью С и катушкой с сопротивлением R И индуктивностью L (рис. 12.7а) равны реактивные сопротивления, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство реактивных сопротивлений является условием резонанса напряжений.

Из (12.25) следует , тогда частота резонанса опреляется выражением

Из (12.26) следует, что резонанс напряжений имеет место в неразветвленной цепи с L и С тогда, когда частота вынужденных колебаний (частота источника) будет равна частоте собственных колебаний резонансного контура . Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты источника или изменением параметров колебательного контура L или С. т. е. изменением частоты собственных колебаний .

Полное (кажущееся) сопротивление цепи (рис. 12.7а) при резонансе напряжений определяется по формуле

так как X_L-X_c=0.

То есть полное сопротивление неразветвленной цепи при резонансе напряжений  становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи R.

Следовательно, ток в неразветвленной цепи при резонансе напряжений максимальный:

Реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны между собой, т. е.
(12.29)

Таким образом, реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны (каждое) волновому сопротивлению , которое называют характеристическим сопротивлением:

Напряжения на индуктивности U_L и на емкости U_c при резонансе напряжений равны между собой, так как равны сопротивления, см. (12.25).

Равенство (12.31) определяет название «резонанс напряжений».

Так как U_L и U_c изменяются в противофазе, то напряжение в резонансном режиме равно напряжению на активном сопротивлении , т. е. , что видно на векторной диаграмме (рис. 12.76).

При резонансе напряжений каждое из реактивных напряжений U_L и U_c может оказаться большим, чем напряжение цепи U.

где Q — добротность резонансного контура.

Добротность контура Q показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности U_L и емкости U_c (каждое) больше напряжения цепи U.

Высокая добротность резонансного контура (при малом активном сопротивлении контура) нашла широкое применение в радиотехнике, в частности в антенном контуре.

Из векторной диаграммы (рис. 12.76) видно, что при резонансе напряжение цепи U совпадает по фазе с током , угол между и U ф = 0 и cos ф = 1. Следовательно, кажущаяся мощность цепи S при резонансе вся потребляется, т. е. является активной:

Колеблющаяся между магнитным полем индуктивности и электрическим полем емкости мощность () не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Из выражения (12.33) следует, что при отсутствии активной Мощности Р (активного сопротивления R) резонансный контур становится при резонансе идеальным колебательным контуром. Следовательно, при наличии активного сопротивления R источник расходует свою мощность на компенсацию потерь в контуре, за счет чего колебания в цепи будут незатухающими.

Кроме активного сопротивления R резонансной цепи и напряжения, приложенного к ней, все параметры резонансной цепи () изменяются с изменением частоты сети .

Эти изменения параметров резонансной цепи наглядно иллюстрируются резонансными кривыми, изображенными на рис. 12.8.

На резонансных кривых четко просматриваются значения этих параметров при частоте резонанса .

Для неразветвленной цепи, содержащей несколько активных и реактивных сопротивлений различного характера (рис. 12.9а), справедливо геометрическое равенство напряжений (баланс напряжений)

которое лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.96).

Таким образом, напряжение цепи равно геометрической сумме напряжений на всех участках этой цепи.

Из векторной диаграммы следует (рис. 12.96)

где — активное напряжение цепи равно арифметической сумме напряжений на активных участках цепи; — реактивное напряжение цепи равно алгебраической сумме напряжений на реактивных участках цепи.

Те же рассуждения можно отнести и к сопротивлениям:

— полное сопротивление цепи ;

— активное сопротивление цепи ;

— реактивное сопротивление цепи

Напряжение на каком-либо участке неразветвленной цепи (рис. 12.9а), например на участке АВ, определяется так:_

Вектор напряжения U_AB показан на векторной диаграмме (рис. 12.96).

Пример 12.2

Напряжение, приложенное к неразветвленной цепи (рис. 12.10) U=220 В, частота тока сети f = 50 Гц. Начальная фаза тока = 0.

Сопротивление участков цепи:

Требуется:

1. Вычислить ток цепи I и записать его мгновенное значение.

2. Записать мгновенное значение напряжения цепи иАЕ, определив предварительно угол ср и характер цепи.

3. Определить напряжение между точками АВ и CD.

4. Построить в масштабе векторную диаграмму цепи, определив едварительно напряжение на каждом сопротивлении.

5. Определить мощности S, Р и Q цепи.

6. Определить частоту, при которой в цепи наступит резонанс напряжений, и ток при резонансе.

7. Определить максимальную энергию, запасенную в магнитном поле катушек W_mL и электрическом поле конденсаторов W_mC. Как нужно изменить емкость конденсаторов, чтобы в цепи пил резонанс напряжений при частоте f = 50 Гц?

Решение

1. Для определения тока цепи I необходимо вычислить полное сопротивление цепи:

Действующее значение тока = 8,8 А, а амплитудное значение тока

Угловая частота рад/с.

Мгновенное значение тока цепи:

2. Угол сдвига фаз ф и характер цепи определяется через tg ф:

Таким образом, угол ф = 37° (из таблицы), характер цепи индуктивный (+ф).

Тогда мгновенное значение напряжения цепи

где

3. Напряжение на участках:

4. Для построения векторной диаграммы определяются напряжения:

Векторная диаграмма цепи (отображает только характер участков, но не величины напряжений на них) изображена на рис. 12.11.

5. Полная мощность цепи  активная мощность Р= (так как ), реактивная мощность вар, (так как ).

6. Для определения частоты резонанса вычисляется индуктивность L и емкость С цепи:

Тогда

Ток цепи при резонансе А.

7. Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле катушек:

Максимальная энергия, запасенная в электрическом поле конденсаторов:

8. Условие резонанса X_L = X_C.

По условию задачи , а Ом. Этому Х_с соответствует емкость С = Ф при f = 50 Гц. Для того чтобы выполнить условие резонанса при сохранении частоты 50 Гц, необходимо Х_с увеличить до 38 Ом. Чтобы емкостное сопротивление равнялось 38 Ом, величина емкости С должна быть равна

т. е. емкость конденсаторов нужно уменьшить на

Активный и реактивный токи:

Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока вводятся расчетные величины активного и реактивного токов цепи.

Если к цепи, содержащей активное сопротивление R и индуктивное X_L (рис. 13.1а), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим напряжением, отстает от него по фазе на угол ф (рис. 12.1 в), .

Векторная диаграмма в этом случае изображена на рис. 13.16.

Ток цепи I (рис. 13.16) раскладывается на две составляющие, одна из которых совпадает по фазе с напряжением, другая — сдвинута на 90°. Составляющая тока , совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей, или активным током. Составляющая тока , имеющая относительно напряжения сдвиг по фазе на угол 90°, называется реактивной составляющей, или реактивным током.

Активный и реактивный токи физического смысла не имеют. Они являются расчетными величинами, так как в неразветвленной цепи (рис. 13.1а) ток на всех участках имеет одинаковое значение. Однако понятия активный и реактивный токи значительно облегчают расчет разветвленных цепей синусоидального тока. Соотношения между токами определяются из треугольника токов (рис. 13.16)

13.2. Проводимости

Из треугольника токов для рассматриваемой цепи (рис. 13.16) следует: .

С другой стороны, известно, что  (см. (12.6)), a  и  (см. (12.9)).

Тогда

где g — активная проводимость цепи, равная

Величина, на которую умножают напряжение, чтобы получить ток, называют проводимостью.

А так как g определяет активный ток , то ее и называют активной проводимостью.

Таким образом, активная проводимость g определяется величиной активного сопротивления, деленного на квадрат полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Величина реактивного тока определяется выражением

где b — реактивная проводимость цепи, равная

Величина полного тока цепи равна

где  так как для цепи синусоидального тока с (рис. 13.1а)

Таким образом, у — полная, или кажущаяся, проводимость цепи:

Полная (кажущаяся) проводимость цепи «у» является обратной величиной полного (кажущегося) сопротивления цепи.

Активная и реактивная проводимости являются соответственно обратными величинами активного R и реактивного X сопротивлений только в том случае, если эти сопротивления (R и X) являются единственными в цепи или ветви, т. е. и

Если же в неразветвленной цепи (или ветви) включены сопротивления то для определения проводимостей можно воспользоваться выражениями (13.2), (13.4), (13.6). Треугольник проводимостей для рассматриваемой цепи (рис. 13.1а) изображен на рис. 13.1 в. Соотношения между проводимостями определяются из этого треугольника.
 

Если к источнику синусоидального напряжения  подключить параллельно реальную катушку с активным сопротивлением и индуктивным и конденсатор с активным сопротивлением и емкостным (рис. 13.2а), то токи в параллельных ветвях этой цепи изменяются по синусоидальному закону:

Действующие значения этих токов будут соответственно равны

Ток в неразветвленной цепи равен геометрической сумме токов в ветвях, так как токи не совпадают по фазе:

Для определения этого тока строится векторная диаграмма цепи (рис. 13.26), из которой следует:

где 
Таким образом, ток в неразветвленной части цепи  определяется произведением напряжения U и полной проводимости цепи

Реактивные проводимости в ветвях имеют различные знаки, так как сопротивления в ветвях различного характера (индуктивное и емкостное).

Треугольник проводимостей рассматриваемой цепи изображен на рис. 13.2в.

Характер разветвленной цепи определяется так же, как и неразветвленной. Если ток цепи отстает от напряжения (как в рассматриваемом случае), то цепь индуктивного характера, если же ток опережает напряжение то цепь емкостного характера.
 

Резонанс токов в цепи (рис. 13.2а) с параллельным включением катушки и конденсатора (в различных ветвях) возникает при равенстве реактивных проводимостей в ветвях:

Выражение (13.9) является условием резонанса токов в разветвленных цепях синусоидального тока. Полная (кажущаяся) проводимость при этом условии

так как
 

Таким образом, полная проводимость цепи при резонансе токов  минимальна по величине и равна активной проводимости  Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов имеет минимальную величину

Реактивные токи в ветвях при резонансе токов равны между собой

Это равенство и определяет название «резонанс токов».

На основании равенства (13.12) строится векторная диаграмма при резонансе токов (рис. 13.3). Реактивные токи находятся в противофазе, поэтому ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов равен активному току и совпадает по фазе с напряжением, т.е. Следовательно, вся мощность цепи 5 при резонансе токов является активной Р:

Эта активная мощность компенсирует потери на активном сопротивлении в параллельном резонансном контуре. Мощность (энергия), которая колеблется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности при резонансе, не является реактивной, так как не загружает источник и провода.

Частота резонанса токов в параллельном резонансном контуре может быть определена из условия резонанса токов, т. е. равенства реактивных проводимостей в ветвях

После ряда преобразований равенства (13.13) определяется частота резонанса токов

Резонансная частота зависит не только от параметров колебательного контура но и от активных сопротивлений в ветвях реального резонансного контура.

Если в резонансном контуре отсутствуют активные сопротивления в ветвях, то частота резонанса токов  становится равной частоте собственных колебаний идеального резонансного контура

Если в резонансном контуре или то резонанса токов добиться невозможно.

Резонанс токов нашел широкое применение в радиотехнике и выпрямительной технике (в резонансных фильтрах) и др.

Пример 13.1

Напряжение, приложенное к параллельно включенным катушке и конденсатору (рис. 13.4а), частота сети  Гц. Параметры цепи: Определить:

1) токи всех участков цепи:

2) углы сдвига фаз этих токов относительно напряжения:

3) полную S, активную Р и реактивную Q мощности цепи;

4) частоту, при которой наступит резонанс токов в этой цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

1. Сопротивление участков цепи:

где

Сопротивление 1-й ветви:

Токи в ветвях соответственно равны

Для определения тока в неразветвленной части цепи определяются проводимости:

Тогда полная проводимость цепи будет равна

Ток в неразветвленной части цепи

2. Углы сдвига фаз:

.

Знак «минус» перед значением угла параллельного контура означает, что цепь имеет емкостной характер, так как

3. Полная мощность цепи

Активная мощность цепи так как

Реактивная мощность цепи вар, так как

4. Угловая частота резонанса токов в цепи равна

Откуда

Для построения векторной диаграммы определяют активные и реактивные токи в ветвях:

так как в ветви с емкостью отсутствует активное сопротивление, т.е.

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи изображена на рис. 13.46.

На векторной диаграмме видно, что ток I опережает напряжение U на угол 53°30′ (цепь емкостного характера).
 

Номинальные параметры, т.е. мощность источника мощность потребителя и коэффициент мощности связаны следующим соотношением

Из (13.15) следует, что чем меньше тем большую мощность должен иметь источник для питания этого потребителя, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, стоимость и др.

Ток в цепи потребителя с определенным согласно выражению (12.11) равен

Из (13.16) видно, что чем меньше , тем больше ток потребителя тем больший ток проходит по проводам линий электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и меньше КПД ее и всей системы (3.11). Кроме того, увеличение тока требует для его передачи проводов большего сечения, т. е. большего расхода цветных металлов.

Таким образом, низкий коэффициент мощности потребителя приводит к увеличению мощности источника, питающего этот потребитель, уменьшению КПД линии электропередачи и к увеличению сечения проводов линий электропередачи. 4В России установлен минимально допустимый коэффициент мощности не менее 0,93, т.е. должен быть равен или больше 0,93

Однако большинства электрических потребителей переменного тока меньше этой нормы. Так, например, асинхронных двигателей, в зависимости от нагрузки, составляет трансформаторов — выпрямителей — и т.д. Следовательно, коэффициент мощности этих потребителей необходимо повышать.

Так как большинство потребителей представляет собой нагрузку индуктивного характера, то для улучшения параллельно с ним подключаются конденсаторы (рис. 13.5а).

Из векторной диаграммы (рис. 13.56) видно, что с подключением конденсатора С (ключ К замкнут) появляется за счет которого уменьшается угол и увеличивается установки. При этом уменьшается ток цепи который до подключения конденсатора был равен току нагрузки

Для повышения коэффициента мощности конденсатор можно включить последовательно с потребителем индуктивного характера. Однако при этом нарушается режим работы (напряжение) потребителя. Поэтому для улучшения конденсатор подключают параллельно с нагрузкой (рис. 13.5а).

Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что экономически нерационально (уменьшается КПД установки).

Пример 13.2

Асинхронный двигатель, включенный в сеть с напряжением и частотой развивает на валу мощность КПД двигателя при Определить емкость конденсатора С, который необходимо включить параллельно с двигателем (рис. 13.5а), чтобы повысить установки до 0,95.

Решение

Мощность, потребляемая двигателем из сети:

Ток нагрузки т.е. ток двигателя (рис. 13.5а), равен

Реактивная составляющая тока двигателя (рис. 13.56)

(по таблице ).

Ток установки при подключении конденсатора, т. е. при будет равен

При Реактивная составляющая тока установки (рис. 13.56)

Ток конденсатора (рис. 13.56)

Емкостное сопротивление конденсаторов

Емкость конденсаторов, которые нужно подключить параллельно двигателю для улучшения до 0,95:

О разложении полной мгновенной мощности в цепи синусоидального тока на мгновенную активную и мгновенную реактивную мощности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311.16 ББК 31.280.7

А С. СЕРЕБРЯКОВ, В.Л. ОСОКИН

О РАЗЛОЖЕНИИ ПОЛНОЙ МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА НА МГНОВЕННУЮ АКТИВНУЮ И МГНОВЕННУЮ РЕАКТИВНУЮ МОЩНОСТИ

Ключевые слова: полная мгновенная мощность, активная мгновенная мощность, реактивная мгновенная мощность, активно-индуктивная нагрузка, интегральные значения мощностей, ваттметры активной и реактивной мощности, компенсации реактивной мощности.

Рассмотрены особенности систем электроснабжения переменного тока, в которых для оценки их энергоэффективности необходимо учитывать не только активную, но реактивную мощность, для передачи которой по проводам затрачивается определенная часть активной мощности. Отмечено, что дефицит реактивной мощности приводит к снижению уровня напряжения в электрической сети и может нарушить статическую устойчивость электрической системы. Следовательно, источники питания должны вырабатывать не только активную, но и реактивную мощность для питания приемников, имеющих реактивные элементы. Поскольку передача реактивной мощности по сети экономически невыгодна из-за потерь в линии электропередачи, то более целесообразным является выработка ее непосредственно в местах потребления с помощью местных источников реактивной мощности — установок емкостной компенсации реактивной мощности. В этом случае обменная часть электромагнитной энергии становится равной нулю. Она не потребляется от источника энергии и не возвращается к нему. Емкостной и индуктивный элементы обмениваются реактивной энергией между собой. По сети в этом случае передается только энергия, которая преобразуется в полезную работу. С введением в систему управления энергетическими процессами цифровых технологий необходимо обосновать основные теоретические положения для оптимального управления режимами энергопотребления и компенсации реактивной мощности. В статье приводятся теоретические положенияЛ которые могут лечь в основу автоматизированных цифровых систем управления энергопотреблением. Приведены выражения и волновые диаграммы для мгновенных значений активной, реактивной и полной мощностей в цепи синусоидального тока с активно-индуктивной нагрузкой, состоящей из последовательного или параллельного соединения резистора и индуктивной катушки. Показано, как изменятся волновые диаграммы мгновенных значений мощностей в случае компенсации реактивной мощности с помощью поперечной емкостной компенсации, т.е. включением параллельно нагрузке конденсатора. В обоих случаях реактивная мощность на входе цепи становится равной нулю, а полная мощность — равной активной мощности. Однако кривые мгновенных значений активных мощностей в указанных случаях имеют разные фазы, что необходимо учитывать при разработке и эксплуатации цифровых систем автоматического регулирования устройств компенсации реактивной мощности.

Основной задачей электрических сетей является электроснабжение потребителей, т.е. обеспечение их электроэнергией. Поэтому основными важными для практики величинами, характеризующими эффективность работы электрических систем, являются мощность и энергия. По значению мощности оценивают работу системы электроснабжения в каждом отдельном рабочем режиме, а по значению потребленной энергии — работу системы за длитель-

ный период времени. Особенностью систем электроснабжения переменного тока является то обстоятельство, что для оценки их энергоэффективности необходимо учитывать не только активную, но и так называемую реактивную мощность. Активной мощностью Р в электрической цепи при периодических процессах называют среднее значение полной мгновенной мощности 5 за один период, или среднее значение мгновенной активной мощности р за один период. Разность полной мгновенной мощности 5 и активной мгновенной мощностир является мгновенной реактивной мощностью д.

Задачи исследования. Дефицит реактивной мощности приводит к снижению уровня напряжения в электрической сети и в ряде случаев может нарушить статическую устойчивость электрической системы. С введением в систему управления энергетическими процессами цифровых технологий необходимо обосновать основные теоретические положения для оптимального управления режимами энергопотребления. Ниже приводятся положения, которые могут лечь в основу разработки автоматизированных систем управления энергопотреблением.

Методы исследования. Полную мгновенную мощность в цепях синусоидального тока можно представить как сумму мгновенной активной мощности р и мгновенной реактивной мощности д [3, 10]. Например, для цепи, содержащей последовательно соединенные сосредоточенные элементы, обладающие активным сопротивлением Я, индуктивностью Ь и емкостью С, по которой протекает синусоидальный ток г, результирующее напряжение, приложенное к цепи:

и = иЯ + иь + иС = Яг + Ь—— + иС . (1)

М

Выражение для полной мгновенной мощности 5, подводимой к цепи, будет выглядеть как

. п2 Т.—г иС 5 = и ■ г = и„1 + ит1 + ил = Яг + Ьг—+и „С- —

= Яг 2 + & &

2

22

Ьг

2

— +—

Ж

Си’С

(2)

= я— 2 + & (у ) + (У ) = Ря + Чь + Чс , т М

. „ ЖиС т —— где г = С- — ток в цепи; иь = ь — и иС — напряжения на индуктивной катушке и конденсаторе, соответственно; рЯ = иЯг — мгновенная активная мощность в активном сопротивлении; чь = иьг и дС = иСг — мгновенные реактивные мощности в индуктивной катушке и конденсаторе, соответственно.

В выражениях (1) и (2) ток, напряжения и мощности являются функциями времени Мгновенная активная мощность, которая потребляется в активном сопротивлении Я, выраженная по закону Джоуля — Ленца как рЯ = Я ■ — , всегда положительная. Она характеризует необратимый процесс поглощения энергии.

Мгновенные реактивные мощности qL в индуктивной катушке и в конденсаторе, в которых электроэнергия запасается и затем снова возвращается к источнику энергии, будут положительными в том случае, когда энергия в них запасается, т.е. возрастает, и отрицательными, когда энергия убывает. Таким образом, мгновенные реактивные мощности qL в индуктивной катушке и дс определяют скорость поступления энергии в магнитное поле катушки и электрическое поле конденсатора и скорость возвращения энергии из этих полей.

На рис. 1 в качестве примера приведены расчетные формулы в интегрированном пакете Mathcad для расчета рассмотренных выше мгновенных мощностей в цепи синусоидального тока с активно-индуктивной нагрузкой, состоящей из последовательного соединения резистора Я = 4 Ом и индуктивной катушки с индуктивным сопротивлением X = 3 Ом [11]. Полное сопротивление цепи + X = 5 Ом. Действующее значение питающего напряжения и = 100 В, частота / = 50 Гц. Начальная фаза напряжения принята равной нулю. Фазовый угол нагрузки равен ф = 36,87° = 0,644 рад. На этот угол синусоида тока 1 отстает от синусоиды напряжения и. Там же приведены формулы для расчета интегральных значений мощностей Р, Q, 5.

Мгновенные мощности прн активно индуктнвной нагрузке

U := 100 u(t) := u-/2siii! lOOirt! R := 4 X := 3 Z := -JR2 + X2 = 5

i R » ip := acos| —

cosiip) = 0.8

U

siii(ip) = 0.6 I:= —= 20

Л

t:= 0,0.0001. 0.02 111(t) := 10072-sill ЮОтгГ—|

2 ;

i(t) := и-л/2-smilOOTrt-ip) I := 1

AM

0.02

i(tr dt = 20

,41.02

p(t) := R-ift)1 *(t) :=u(r)-i(r)

q(t) := * <lt

L-i(t)

(jl(t) := ul(t)-i(t)

P :=

Q:=

Q:=

P := 1

ОЛ2′ 1

0.02 1

0.02 J

0.02 J

i4).02

p (t) (lt= 1.6 X 10

s(t) (It = 1.6 X 10

0

4)02 0

r0.02

q(t) (lt= 6.182 x 10

-13

4l(t) (lt= 1.2 X 10

0

й := ТТ1 =2×10 Р := Ясо5(1р) = 1.6 х 10 (} := = 1.2 х 10

Рис. 1. Формулы для расчета мгновенных и интегральных значений мощностей в цепи с последовательно включенной активно-индуктивной нагрузкой

Для расчета интегрального значения активной мощности P = 1600 Вт взят принцип действия ваттметра индукционной системы, усредняющего мощность за один период питающего напряжения. Из рис. 1 видно, что средняя за период мощность, т.е. активная мощность, на зажимах всей цепи равна средней за период мощности на участке с активным сопротивлением R.

Для расчета интегрального значения реактивной мощности Q = 1200 вар, так же, как и в реальных ваттметрах реактивной мощности, взято напряжение u1, сдвинутое в сторону отставания от питающего напряжения u на угол 90°

и В й й

1 — 1. В этом случае мгновенное значение измеряемой реактивной мощности

обозначено на рис. 1 как q1. Интегральное значение реактивной мощности без сдвига напряжения (интегрирование мгновенной реактивной мощности q за один период), как видно из рис. 1, равно нулю (Q = 6,182 • 10-13 ~ 0) [2, 8].

Научная новизна. На рис. 2 приведены зависимости мгновенных значений мощности, полученные по формулам, приведенным на рис. 1. Заметим, что такие же значения мгновенных мощностей можно получить при последовательном соединении элементов R и L, разложив питающее напряжение на

две составляющие — активную ua = и 42 • cos9 • sin(100rc • t — ф), совпадающую

по фазе с током i в цепи, и реактивную составляющую

up = U-v/2 • sin ф- sin(100rc-1 + 90°-ф), опережающую по фазе ток i на 90°

(рис. 3). Первая составляющая — это мгновенное значение напряжения на резисторе, а вторая — на индуктивной катушке. Ток же i в обоих элементах при последовательном их включении одинаковый. Его амплитуда составляет

20/2 = 28,2 А. В этом случае две составляющие напряжения дают две составляющие p и q мгновенной мощности s. Активная мощность p и ток i одновременно проходят через нуль. Отметим, что интегральное значение активной мощности Р получается одинаковым как при интегрировании мгновенной активной мощности p(t), так и при интегрировании полной мгновенной мощности s(t), что подтверждает рис. 1.

Как видно из рис. 2, кривые мгновенной активной мощности p и мгновенной полной мощности s являются несинусоидальными функциями времени. Они обе содержат синусоидальные составляющие двойной частоты и постоянные составляющие. Амплитуды синусоидальных составляющих этих кривых различны, а постоянные составляющие одинаковые и равны P. Поэтому их интегральные значения равны их постоянным составляющим — активной мощности P. Значение активной мощности P можно определить из

s + s ■ 3600 — 400

кривых s и p следующим образом: P = -=-= 1600 Вт,

2 2

p 3200 или P = =-= 1600 Вт .

В

300 250 200 150 100 50 0

-50 -100 -150

Рис. 2. Зависимости мгновенных значений мощности от времени, полученные по формулам, приведенным на рис. 1

Кривая мгновенной реактивной мощности q представляет собой синусоидальную величину. Поэтому ее интегральное значение за период равно нулю. Амплитуда колебаний мгновенной реактивной мощности q равна значению реактивной мощности Q. Пульсирующий характер мгновенных мощностей дает полную энергетическую характеристику процесса передачи электрической энергии.

На рис. 2 начало синусоиды реактивной мощности q совпадает с началом синусоиды тока, или концом ее полупериода. Из представленных на рис. 2 кривых мгновенных значений мощностей реактивную мощность Q можно определить через амплитудное значение мгновенной реактивной мощности qmax или через максимальное smax и минимальное (отрицательное) smin значения полной мощности s следующим образом:

Q = qmax = |q mini = 1200 Бар

или Q = V*max ‘(_smm ) = V3600 • 400 = 1200 вар. и коэффициент реактивной мощ-

S smax — smm

___ „4. Q 2 V smax ‘ (—smm)

ности как tg ф = — = —1-.

P s + s

max mm

Если же двухполюсник с активно-индуктивной нагрузкой представлен не как последовательное, а как параллельное соединение элементов, то в этом случае следует брать две составляющие тока и одно общее напряжение (рис. 3). Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением и определяется по формуле

ia (t) = /V2 • cosfo) • sin(100re-1). (3)

Рис. 3. Векторная диаграмма напряжений и токов при активно-индуктивной нагрузке для последовательного и параллельного соединения элементов

%

Реактивная составляющая тока отстает от напряжения на угол — и определяется по формуле

Iр (1) = /л/2 • 8ш(ф) • 81п[^100% • X — (4)

Мгновенные значения мощностей в этом случае определяются по формулам

р (X) = и (X) • 1а (X), (5)

q(t) = иЦ) • 1р (0, (6)

s(t) = и(Х) • 1(Х). (7)

Две составляющие р и q полной мощности 5 = р + q определяются двумя составляющими общего тока I. Мгновенные значения мощностей, рассчитанные по формулам (5)-(7), приведены на рис. 4 [3]. Здесь же показаны кривые напряжения и и тока I. Начало синусоиды реактивной мощности q совпадает с максимальным и минимальным значениями питающего напряжения и.

В

зоо

250 200 150 100 50 0

-50 -100 -150

Рис. 4. Зависимости мгновенных значений мощности от времени, полученные по формулам (5)-(7) при параллельном соединении элементов

Сравнивая осциллограммы на рис. 2 и рис. 4, можно заключить, что мгновенные значения полной мощности s, поступающей на вход схемы, в обоих случаях одинаковые, так как одинаковы амплитудные значения и начальные фазы напряжения u и тока i на входе в обеих схемах. Однако кривые мгновенных значений активной мощности p и реактивной мощности q в обоих рассматриваемых случаях имеют разные фазы, хотя амплитудные значения их в обоих случаях одинаковы: Q = 1200 вар, Р = 1600 Вт. Но при этом постоянная составляющая реактивной мощности q, так же, как и ранее, равна нулю, а постоянная составляющая активной мощности p равна половине максимального значения этой мощности, или амплитудному значению ее синусной составляющей.

На прохождение реактивного тока по проводам затрачивается определенная часть активной мощности, так как потери мощности пропорциональны квадрату полного тока. Кроме того, реактивный ток вызывает дополнительное снижение напряжения в точке потребления энергии. Таким образом, с одной стороны, реактивный ток и реактивная мощность являются нежелательными величинами. С другой стороны, они помимо нашего желания необходимы для нормальной работы большинства потребителей электрической энергии, имеющих в своем составе реактивные (индуктивные) элементы. Следовательно, источники питания должны вырабатывать не только активную, но и реактивную мощность для питания приемников, имеющих реактивные элементы.

Передача реактивной мощности по сети экономически невыгодна из-за потерь в линии электропередачи. Более целесообразным является выработка ее непосредственно в местах потребления с помощью местных источников реактивной мощности, например, конденсаторных установок. Такие установки называют установками поперечной емкостной компенсации реактивной мощности. В этом случае полупериоды запасания и возврата электромагнитной энергии индуктивностью и емкостью сдвинуты на 180°, т.е. они находятся в проти-вофазе. Поэтому при наличии рядом двух различных потребителей — индук-

тивности и емкости с равными реактивными сопротивлениями — суммарная обменная часть электромагнитной энергии становится равной нулю. Она не потребляется от источника энергии и не возвращается к нему./2со8ф = 22,6 А. Пунктирными линиями на рис. 5 показаны мощности р и q до компенсации. Потребляемая из сети реактивная мощность Q становится равной нулю, а полная мощность 5 становится равной активной мощности р.

Рис. 5. Зависимости мгновенных значений мощностей от времени при компенсации реактивной мощности последовательно соединенных активного сопротивления и катушки индуктивности

На рис. 6 приведены кривые мгновенных мощностей при компенсации реактивной мощности и параллельном включении активного сопротивления и катушки индуктивности. Индуктивная мощность q в схеме до компенсации на рис. 6 показана пунктирной линией.

В обоих случаях кривые мгновенных значений полных мощностей 5 совпадают. Обе схемы потребляют только активную мощность, т.е. Р = Б и Q = 0. При этом активные мощности, потребляемые активным сопротивлением Я, на рис. 5 и 6 имеют разные фазы.

Сумма мгновенных реактивных мощностей равна нулю. В обоих случаях для компенсации реактивной мощности емкость компенсирующего конденсатора теоретически подбирают так, чтобы ток в нем был бы равен реактивной составляющей в соответствии с формулой (4):

C =-1-, (8)

2я — f -U sin ф

где f — частота питающего напряжения; U, I — действующие значения питающего напряжения и тока нагрузки, соответственно; ф — фазовый параметр нагрузки.

На практике коэффициент мощности повышают не до значения единицы, а до значения 0,95, вводя некоторую расстройку резонанса, для того, чтобы избежать нежелательных перенапряжений при коммутационных процессах.

в

зов 250 200 150 100 50 О

-50 -100

о 0.005 0.01 0.015 С

Рис. 6. Зависимости мгновенных значений мощностей от времени при компенсации реактивной мощности параллельно соединенных активного сопротивления и катушки индуктивности

Выводы. Мгновенная мощность в цепях синусоидального тока определяется в общем случае несинусоидальной функцией времени, содержащей две составляющие — синусоидальную функцию и постоянную составляющую. Именно две величины — амплитуда синусоидальной составляющей и значение постоянной составляющей — дают полную характеристику протекающего в электрической цепи процесса с энергетической точки зрения.

Приведенные соотношения могут быть полезны при разработке и эксплуатации цифровых систем автоматического регулирования устройств компенсации реактивной мощности1, а также при разработке информационно-

1 ГОСТ Р 52425- 2005 (МЭК 62053-23: 2003). Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Частные требования. Часть 23. Статические счетчики реактивной энергии. М.: Стандартинформ, 2006; ГОСТ Р 52320-2005 (МЭК 6205211:2003). Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. Часть 11. Счетчики электрической энергии. М.: Стандартинформ, 2005.; ГОСТ Р 54149-2010. Национальный стандарт Российской Федерации. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. М.: Стандартинформ, 2010.

измерительной техники и при оптимизации управления качеством электрической энергии и оценки электромагнитной совместимости электротехнических средств [4-6, 9, 12, 14].

Литература

1. Железко Ю.С. Компенсация реактивной мощности и повышение качества электроэнергии. М.: Энергоатомиздат, 1985. 216 с.

2. Железко Ю.С. Потери электроэнергии. Реактивная мощность. Качество электроэнергии. М.: ЭНАС, 2009. 459 с.

3. Зевеке Г.В. Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. 3-е изд., испр. М.; Л.: Энергия, 1965. 753 с.

4. ЗиновьевГ.С. Силовая электроника. 5-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2012. 667 с.

5. Кармашев В.С. Электромагнитная совместимость технических средств. Справочник. М.: НОРТ, 2001. 401 с.

6. Карташев И.И., Зуев Н.Н. Качество электроэнергии в системах электроснабжения. Способы его контроля и обеспечения. М.: Изд-во МЭИ, 2000. 120 с.

7. Ковалев И.Н. Выбор компенсирующих устройств при проектировании электрических сетей. М.: Энергоатомиздат, 1990. 200 с.

8. МельниковН.А. Реактивная мощность в электрических сетях. М.: Энергия, 1975. 128 с.

9. Повышение эффективности использования электроэнергии в системах электротехнологии / Б.П. Борисов, Г.Я. Вагин, А.Б. Лоскутов, Ф.К. Шидловский и др. Киев: Наукова думка, 1990. 252 с.

10. Серебряков А.С., Осокин В.Л. Моделирование в пакете Mathcad переходных процессов в активно-емкостных цепях при переменном питающем напряжении и дискретном изменении параметров элементов // Вестник ВИЭСХ. 2016. № 4(25). С. 13-21.

11. Серебряков А.С., Шумейко В.В. Mathcad и решение задач электротехники. М.: Маршрут, 2005. 240 с.

12. Управление качества электроэнергии / И.И. Карташев, В.Н. Тульский, Р.Г. Шамонов и др.; под ред. Ю.В. Шарова. М.: Изд-во МЭИ, 2006. 320 с.

13. Электрические системы. Т. 2. Электрические сети / под ред. В.А. Веникова. М.: Высш. шк., 1971. 440 с.

14. Электромагнитная совместимость в электроэнергетике и электротехнике / А.Ф. Дьяков, Б.К. Максимов, Р.К. Борисов и др.; под ред. А.Ф. Дьякова. М.: Энергоатомиздат, 2003. 768 с.

СЕРЕБРЯКОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ — доктор технических наук, профессор кафедры электрификации и автоматизации, Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Россия, Княгинино ([email protected]).

ОСОКИН ВЛАДИМИР ЛЕОНИДОВИЧ — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой электрификации и автоматизации, Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Россия, Княгинино ([email protected]).

Ä. SEREBRYAKOV, V. OSOKIN EXPANSION OF FULL INSTANTANEOUS POWER IN CIRCUIT OF SINUSOIDAL CURRENT ON INSTANTANEOUS ACTIVE AND INSTANTANEOUS REACTIVE POWER Key words: full instantaneous power, instantaneous active power, instantaneous reactive power, active-inductive load, integral value of the capacity, power meter of active and reactive power, compensation of reactive power.

The features of AC power supply systems are considered, it is necessary to take into account not only active, but reactive power to assess their energy efficiency for the transmission of which a certain part of the active power is spent on the wires. It is noted that the lack of reactive power leads to a decrease in the voltage level in the electrical network and can disrupt the static stability of the electrical system. Consequently, the power sources must produce not only active, but also reactive power for power receivers with reactive elements.

Since the transmission of reactive power over the network is economically unprofitable due to losses in the power line, it is more expedient to develop it directly in the places of consumption with the help of local sources of reactive power — installations for capacitive compensation of reactive power. In this case, the exchange part of the electromagnetic energy becomes zero. It is not consumed from or returned to the energy source. Capacitive and inductive elements exchange reactive energy with each other. In this case, only energy is transmitted through the network, which is converted into useful work. With the introduction of digital technologies into the energy process control system, it is necessary to substantiate the basic theoretical provisions for optimal control of energy consumption modes and reactive power compensation. The article presents the theoretical provisions that can form the basis of automated digital energy management systems. Expressions and wave diagrams for instantaneous values of active, reactive and full powers in a circuit of a sinusoidal current with an active-inductive load consisting of a series or parallel connection of a resistor and an inductive coil are given. It is shown how the wave diagrams of instantaneous power values will change in the case of reactive power compensation by means of transverse capacitive compensation, i.e. by switching the capacitor in parallel with the load. In both cases, the reactive power at the input of the circuit becomes zero, and the total power becomes equal to the active power. However, the curves of the instantaneous values of the active power in these cases have different phases, which must be taken into account in the development and operation of digital systems of automatic control of reactive power compensation devices.

References

1. Zhelezko Yu.S. Kompensatsiya reaktivnoy moshchnosti i povysheniye kachestva elektro-energii [Reactive power compensation and power quality improvement]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1985, 216 p.

2. Zhelezko Yu.S. Poteri elektroenergii. Reaktivnaya moshchnost. Kachestvo elektroenergii [Power loss. Reactive power. Power quality]. Moscow, ENAS Publ., 2009, 459 p.

3. Zeveke G.V. Ionkin P.A.. Netushil A.V.. Strakhov S.V. Osnovy teorii tsepey. 3-e izd., ispr. [Basics of circuit theory. 3rd ed.]. Moscow, Leningrad, Energiya Publ., 1965, 753 p.

4. Zinovyev G.S. Silovaya elektronika. 5-e izd.. ispr. i dop. [Power electronics. 5th ed.]. Moscow, Yurayt Publ., 2012, 667 p.

5. Karmashev V.S. Elektromagnitnaya sovmestimost tekhnicheskikh sredstv. Spravochnik [Electromagnetic compatibility of technical means]. Moscow, NORT Publ., 2001, 401 p.

6. Kartashev I.I.. Zuyev N.N. Kachestvo elektroenergii v sistemakh elektrosnabzheniya. Spo-soby ego kontrolya i obespecheniya [Power quality in power supply systems. Methods of its control and maintenance]. Moscow, MEI Publ., 2000, 120 p.

7. Kovalev I.N. Vybor kompensiruyushchikh ustroystvpriproyektirovanii elektricheskikh se-tey [Selection of compensating devices in the design of electrical networks]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1990, 200 p.

8. Melnikov N.A. Reaktivnaya moshchnost v elektricheskikh setyakh [Reactive power in electrical networks]. Moscow, Energiya Publ., 1975, 128 p.

9. Borisov B.P., Vagin G.Ya., Loskutov A.B., Shidlovskii F.K. et al. Povysheniye effektivnosti ispolzovaniya elektroenergii v sistemakh elektrotekhnologii [Increase of efficiency of use of the electric power in systems of electrotechnology]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1990, 252 p.

10. Serebryakov A.S., Osokin V.L. Modelirovaniye v pakete Mathcadperekhodnykh protsessov v aktivno-emkostnykh tsepyakh pri peremennom pitayushchem napryazhenii i diskretnom izmenenii

parametrov elementov [Modeling in the Mathcad transient processes in active-inductive circuits with AC supply voltage and the discrete change in parameters of elements]. Vestnik VIESKh, 2016, no. 4(25), pp. 13-21.

11. Serebryakov A.S., Shumeyko V.V. Mathcad i resheniye zadach elektrotekhniki [Mathcad and the solution of problems in electrical engineering]. Moscow, Marshrut Publ., 2005, 240 p.

12. Sharov Yu.V., ed., Kartashev I.I., Tulskiy V.N., Shamonov R.G. et al. Upravleniye kachestva elektroenergii [Power quality management]. Moscow, MEI Publ., 2006, 320 p.

13. Venikov V.A., ed. Elektricheskiye sistemy. T. 2. Elektricheskiye seti [Electrical system. Vol. 2. Electric network]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1971, 440 p.

14. Diakov A.F., ed., Diakov A.F., Maksimov B.K., Borisov R.K. et al. Elektromagnitnaya sovmestimost v elektroenergetike i elektrotekhnike [Electromagnetic compatibility in power and electrical engineering]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 2003, 768 p.

SEREBRYAKOV ALEKSANDR — Doctor of Technical Sciences, Professor of Electrification and Automatization Department, Nizhny Novgorod State Engineering and Economic University, Russia, Knyaginino ([email protected]).

OSOKIN VLADIMIR — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of Electrification and Automatization Department, Nizhny Novgorod State Engineering and Economic University, Russia, Knyaginino ([email protected]).

Формат цитирования: Серебряков А. С., Осокин В.Л. О разложении полной мгновенной мощности в цепи синусоидального тока на мгновенную активную и мгновенную реактивную мощности // Вестник Чувашского университета. — 2019. — № 1. — С. 134-145.

Мощности цепи синусоидального тока

Энергетические соотношения в отдельных элементах рассматрива­лись в предыдущей теме. Рассмотрим участок электрической цепи, напряжение на котором , а ток .

Определим мгновенную мощность

.

Полученное уравнение со­держит две составляющие: по­стоянную и синусоидальную, имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой тока и на­пряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и мощности при индуктивном характере цепи ( > 0) показаны на рис. 2.16 а.

В промежутках времени, когда и имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна, энергия посту­пает от источника в приемник, потребляется резистором и запасается в магнитном поле катушки. Когда же и имеют разные знаки, мгновенная мощность отрица­тельна и энергия частично возвращается от приемника к источнику. Ак­тивная мощность, поступающая в приемник, равна среднему значению мгно­венной мощности за период

. (2.33)

Тригонометрическая функция называется коэффициентом мощности. Как видно из (2.33), активная мощность равна произведению действующих значений напряже­ния и тока, умноженному на коэффициент мощности. Чем ближе угол к нулю, тем ближе к единице и, следовательно, тем большая при заданных значе­ниях напряжения и тока активная мощность передается от источника к нагрузке.

Формулу активной мощности можно преобразовать с учетом полученных ранее соотношений

Вт. (2.34)

Произведение действующих значений тока и напряжения на входе цепи назы­вается полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА)

. (2.35)

Графически полная мощность характеризует амплитуду колебаний мгновен­ной мощности относительно средней (активной) мощности (рис. 2.16 а). Полная мощ­ность является расчетной мощностью электрических установок (генераторов, трансформаторов и др.), для которых она указывается в качестве номинальной, например, для генератора номинальная (полная) мощность равна его активной максималь­ной мощности, которая может быть получена при = 1. Однако для большинства потребителей < 1. Поэтому даже при номинальных значениях напряжения и тока энергетические возможности источника используются не пол­ностью, так как .

При расчетах электрических цепей и эксплуатации электрооборудования пользуются также понятием реактивной мощности, которая вычисляется по формуле

вар. (2.36)

Реактивная мощность характеризует собой энергию, которой обмениваются генератор и приемник. Она определяется максимальным значением мощности на участке цепи с реактивными элементами

.

Реактивная мощность цепи может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака угла . При индуктивном характере входного сопротивле­ния ( ) реактивная мощность положительна, при емкостном характере ( ) – отрицательна.

Сравнив формулы (2.34)…(2.36), нетрудно установить связь между актив­ной, реактивной и полной мощностями

. (2.37)

Соотношение (2.37) удобно представить в виде прямоугольного треуголь­ника мощностей (рис. 2.16 б), который можно получить из треугольника напря­жений умножением сторон на ток. Из треугольника мощностей имеем соотноше­ния, широко используемые при расчетах

; tgj = Q/P; cosj = P/S. (2.38)

Активная мощность, потребляемая приемником, не может быть отрицатель­ной, поэтому всегда > 0, т. е. на выходе цепи . Активная мощность отображает совершаемую работу или передаваемую энер­гию в единицу времени.

Узнать еще:

Мощность в цепях синусоидального тока — КиберПедия

Если в цепи синусоидального тока присутствуют только резистивные элементы, то мощность такой цепи будет носить активный характер и определится по формуле

.

Если цепь состоит только из реактивных элементов, то есть индуктивностей и емкостей, мощность цепи будет реактивной и определится по формуле

.

Для того чтобы определить полную мощность цепи, содержащей как активные, так и реактивные сопротивления, воспользуемся треугольником напряжений. Умножим все стороны треугольника напряжений на одну и ту же величину тока I, получим подобный ему треугольник мощностей (рис. 5.18), сторонами которого являются – полная мощность; – активная мощность; – реактивная мощность.

Из треугольника мощностей можно определить:

; ; ; .

Реактивная мощность может быть положительна или отрицательна в зависимости от характера цепи. При активно-индуктивном характере цепи мощность положительна, при активно-емкостном характере – отрицательна.

Рассмотрим комплексную форму записи мощности.

Пусть комплекс напряжения в цепи ; комплекс тока . Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется выражением . Для того чтобы получить требуемую разность фаз, необходимо взять сопряженный комплекс тока .

Полная комплексная мощность в цепях синусоидального тока определяется произведением комплекса входного напряжения и сопряженного комплекса общего тока

.

Распишем мощность через комплексы тока и напряжения:

.

Преобразуем экспоненту по формуле Эйлера:

.

Действительная часть полной мощности

представляет собой активную мощность цепи;

мнимая часть

является реактивной мощностью цепи;

модуль полной мощности

.

Полная мощность измеряется в вольт-амперах [BA].

Следует помнить, что правило баланса мощностей справедливо и в цепях переменного тока. Мощность, выделяемая источниками, равна мощности, потребляемой приемниками

.

Полная комплексная мощность источника определяется произведением комплекса напряжения на зажимах источника и сопряженного комплекса тока источника

.

Активная мощность приемников определяется в соответствии с законом Джоуля – Ленца:

.

Реактивную мощность приемников определяют по аналогии с активной:

.

При этом следует учитывать знак сопротивления: индуктивное сопротивление положительно, емкостное – отрицательно.

Полная мощность приемников

.

Полную мощность иногда называют кажущейся мощностью, поскольку ее нельзя измерить непосредственно при помощи измерительных приборов. Полную мощность определяют только косвенным путем: либо измерив значения тока и напряжения и взяв произведение этих величин, либо измерив активную и реактивную мощности и через них определив полную.

Контрольные вопросы и задания

1. Чему равен сдвиг фаз напряжения и тока в резистивном элементе?

2. Какой физический смысл имеет положительный знак активной мощности?

3. Чему равен сдвиг фаз напряжения и тока в индуктивном элементе?

4. Поясните характер изменения со временем реактивной мощности индуктивного элемента.

5. Запишите формулу индуктивного сопротивления.

6. Чему равен сдвиг фаз напряжения и тока в емкостном элементе?

7. Запишите формулу емкостного сопротивления.

8. Поясните характер кривой реактивной мощности емкостного элемента.

9. Запишите формулу полного комплексного сопротивления при последовательном соединении резистиного, индуктивного и емкостного элементов.

10. Что собой представляет треугольник напряжений?

11. Какие параметры цепи можно определить, пользуясь треугольником напряжений?

12. Что собой представляет треугольник сопротивлений?

13. Какие параметры цепи можно определить, пользуясь треугольником сопротивлений?

14. Запишите формулу полной комплексной проводимости при параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

15. Что собой представляет треугольник токов?

16. Какие параметры цепи можно определить из треугольника токов?

17. Что собой представляет треугольник проводимостей?

18. Какие параметры цепи можно определить, пользуясь треугольником проводимостей?

19. Поясните знаки комплексных индуктивного и емкостного сопротивлений и проводимостей.

20. Как определить полную комплексную мощность цепи?

21. Запишите формулы активной и реактивной мощностей.

22. Как проверить баланс мощностей в цепи синусоидального тока?

Мощность в цепи переменного тока — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

• Опишите, как среднюю мощность от цепи переменного тока можно записать в терминах пикового тока и напряжения, а также среднеквадратичных значений тока и напряжения
• Определите соотношение между фазовым углом тока и напряжения и средней мощностью, известное как коэффициент мощности

Элемент схемы рассеивает или вырабатывает мощность в зависимости от того, где I — ток через элемент, а В, — напряжение на нем.Поскольку ток и напряжение в цепи переменного тока зависят от времени, мгновенная мощность также зависит от времени. График p ( t ) для различных элементов схемы показан на (Рисунок). Для резистора i ( t ) и v ( t ) синфазны и поэтому всегда имеют один и тот же знак (см. (Рисунок)). Для конденсатора или катушки индуктивности относительные знаки i ( t ) и v ( t ) меняются в течение цикла из-за разницы фаз (см. (Рисунок) и (Рисунок)).Следовательно, p ( t ) положительно в некоторые моменты и отрицательно в другие, указывая на то, что емкостные и индуктивные элементы вырабатывают мощность в одни моменты и поглощают ее в другие.

Поскольку мгновенная мощность изменяется как по величине, так и по знаку в течение цикла, она редко имеет какое-либо практическое значение. Что нас почти всегда интересует, так это усредненная по времени мощность, которую мы называем средней мощностью. Он определяется средним по времени мгновенной мощностью за один цикл:

где — период колебаний.С заменами и этот интеграл становится

Используя тригонометрическое соотношение, получаем

Вычисление этих двух интегралов дает

и

Следовательно, средняя мощность, связанная с элементом схемы, равна

В технических приложениях известен как коэффициент мощности, который представляет собой величину, на которую мощность, передаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе.Для резистора, поэтому средняя рассеиваемая мощность

Сравнение p ( t ) и показано на (Рисунок) (d). Чтобы выглядеть как его аналог постоянного тока, мы используем среднеквадратичные значения тока и напряжения. По определению это

где

С получаем

Затем мы можем написать для средней мощности, рассеиваемой резистором,

Это уравнение дополнительно подчеркивает, почему при обсуждении выбирается среднеквадратичное значение, а не пиковые значения.Оба уравнения для средней мощности верны для (рисунок), но среднеквадратичные значения в формуле дают более четкое представление, поэтому дополнительный коэффициент 1/2 не требуется.

Переменные напряжения и токи обычно описываются их действующими значениями. Например, напряжение 110 В от бытовой розетки является среднеквадратичным значением. Амплитуда этого источника равна. Поскольку большинство измерителей переменного тока откалиброваны по среднеквадратичным значениям, обычный вольтметр переменного тока, помещенный в бытовую розетку, будет показывать 110 В.

Для конденсатора и катушки индуктивности соответственно. Поскольку мы находим из (Рисунок), что средняя мощность, рассеиваемая любым из этих элементов, равна Конденсаторам, а катушки индуктивности поглощают энергию из цепи в течение одного полупериода, а затем разряжают ее обратно в цепь в течение другого полупериода. Это поведение проиллюстрировано на графиках (Рисунок), (b) и (c), которые показывают, что p ( t) колеблются синусоидально около нуля.

Фазовый угол генератора переменного тока может иметь любое значение.Если генератор выдает мощность; если он поглощает энергию. В терминах среднеквадратичных значений средняя мощность генератора переменного тока записывается как

Для генератора в цепи RLC ,

и

Отсюда средняя мощность генератора

Это также можно записать как

, который означает, что мощность, производимая генератором, рассеивается в резисторе. Как мы видим, закон Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного напряжения на импеданс.

Проверьте свое понимание Вольтметр переменного тока, подключенный к клеммам генератора переменного тока 45 Гц, показывает 7,07 В. Напишите выражение для ЭДС генератора.

Проверьте свое понимание Покажите, что среднеквадратичные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности в цепи переменного тока, где среднеквадратичный ток выражается соответственно. Определите эти значения для компонентов цепи RLC (рисунок).

Сводка

• Средняя мощность переменного тока определяется путем умножения действующих значений тока и напряжения.
Закон
• Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного значения напряжения на полное сопротивление.
• В цепи переменного тока существует фазовый угол между напряжением источника и током, который можно найти, разделив сопротивление на полное сопротивление.
• Средняя мощность, подаваемая в цепь RLC , зависит от фазового угла.
• Коэффициент мощности находится в диапазоне от –1 до 1.

Концептуальные вопросы

При каком значении фазового угла между выходным напряжением источника переменного тока и током средняя выходная мощность источника является максимальной?

Обсудите разницу между средней мощностью и мгновенной мощностью.

Мгновенная мощность — это мощность в данный момент. Средняя мощность — это мощность, усредненная за цикл или количество циклов.

Средний переменный ток, подаваемый в цепь, равен нулю.Несмотря на это, мощность в цепи рассеивается. Объяснять.

Может ли мгновенная выходная мощность источника переменного тока быть отрицательной? Может ли средняя выходная мощность быть отрицательной?

Мгновенная мощность может быть отрицательной, но выходная мощность не может быть отрицательной.

Номинальная мощность резистора, используемого в цепях переменного тока, относится к максимальной средней мощности, рассеиваемой в резисторе. Как это соотносится с максимальной мгновенной мощностью, рассеиваемой на резисторе?

Глоссарий

средняя мощность

среднее время мгновенной мощности за один цикл

коэффициент мощности

величина, на которую мощность, передаваемая в цепь, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе

переменного тока — напряжение, ток и мощность

В цепи переменного тока — переменный ток генерируется от источника синусоидального напряжения

Напряжение

Токи в цепях с резистивной нагрузкой pure , емкостной или индуктивной нагрузкой .

Мгновенное напряжение в синусоидальной цепи переменного тока может быть выражено в форме во временной области как

u (t) = U _max cos (ω t + θ) (1)

где

u (t) = напряжение в цепи в момент времени t (В)

U _max = максимальное напряжение при амплитуде синусоидальной волны (В)

t = время (с)

ω = 2 π f

= угловая частота синусоидальной волны (рад / с)

f = частота (Гц, 1 / с)

θ = фазовый сдвиг синусоидальной волны (рад)

Мгновенное напряжение в качестве альтернативы может быть выражено в частотной области (или векторе) как

U = U (jω) = U _max e ^jθ (1а)

где

U (jω) = U = комплексное напряжение (В)

Вектор — это комплексное число, выраженное в полярной форме, состоящее из величины, равной максимальной амплитуде синусоидального сигнала, и фазы. угол, равный фазовому сдвигу синусоидального сигнала относительно косинусоидального сигнала.

Обратите внимание, что конкретная угловая частота — ω — явно не используется в выражении вектора.

Ток

Мгновенный ток может быть выражен в форме во временной области как

i (t) = I _m cos (ω t + θ) (2)

где

i (t) = ток в момент времени t (A)

I _max = максимальный ток при амплитуде синусоидальной волны (A)

Токи в цепях с чистые резистивные нагрузки , емкостные индуктивные нагрузки или показаны на рисунке выше.Ток в «реальной» цепи с резистивной, индуктивной и емкостной нагрузкой показан на рисунке ниже.

Мгновенный ток в цепи переменного тока альтернативно можно выразить в виде частотной области (или вектора) как

I = I (jω) = I _max e ^jθ (2a)

, где

I = I (jω) = комплексный ток (A)

Частота

Обратите внимание, что частота большинства систем переменного тока является фиксированной — например, 60 Гц в Северной Америке и 50 Гц в большей части остального мира.

Угловая частота для Северной Америки

ω = 2 π 60

= 377 рад / с

Угловая частота для большей части остального мира составляет

ω = 2 π 50

= 314 рад / с

Активная нагрузка

Напряжение на резистивной нагрузке в системе переменного тока можно выразить как

U = RI (4)

где

R = сопротивление (Ом)

Для резистивной нагрузки в цепи переменного тока напряжение составляет в фазе с током.

Индуктивная нагрузка

Напряжение на индуктивной нагрузке в системе переменного тока может быть выражено как

U = j ω LI (5)

, где

L = индуктивность (генри)

Для индуктивной нагрузки ток в цепи переменного тока составляет π / 2 (90 ^o ) фаза после напряжения (или напряжения перед током).

Емкостная нагрузка

Напряжение на индуктивной нагрузке в системе переменного тока может быть выражено как

U = 1 / (j ω C) I (6)

где

C = емкость (фарад)

Для емкостной нагрузки ток в цепи переменного тока опережает напряжение на π / 2 (90 ^o ) фаза .

В реальной электрической цепи присутствует смесь резистивных, емкостных и индуктивных нагрузок со сдвигом фазы напряжение / ток в диапазоне — π / 2 <= ​​ φ <= π / 2 , как показано на рисунок ниже.

Ток в «реальной» цепи со смесью резистивных, индуктивных и емкостных нагрузок. φ — фазовый угол между током и напряжением.

Импеданс

Закон Ома для сложного переменного тока может быть выражен как

U _z = I _z Z (7)

, где

U _z = падение напряжения под нагрузкой (вольт, В)

I _z = ток через нагрузку (ампер, А)

Z = полное сопротивление нагрузки (Ом, Ом)

Полное сопротивление в цепи переменного тока можно рассматривать как комплексное сопротивление.Импеданс действует как частотно-зависимый резистор, где сопротивление является функцией частоты синусоидального возбуждения.

Импеданс в серии

Результирующий импеданс для последовательных сопротивлений может быть выражен как

Z = Z ₁ + Z ₂ (7b)

Сопротивление параллельно

Результирующее сопротивление для параллельных сопротивлений может быть выражено как

1 / Z = 1 / Z ₁ + 1 / Z ₂ (7c)

Полная проводимость

Полная проводимость — это инвертированный импеданс

Y = 1 / Z (8)

, где

Y = проводимость (1 / Ом)

Действующее значение или действующее напряжение

Среднеквадратичное значение — это действующее значение синусоидального напряжения или тока.

RMS — среднеквадратичное значение — или эффективное напряжение может быть выражено как

U _rms = U _eff

= U _max / (2) ^1/2

= 0,707 U _макс (9)

где

U _{среднеквадратичное значение} = U _eff

= действующее напряжение (В)

= максимальное напряжение (амплитуда) источника синусоидального напряжения (В)

RMS — среднеквадратичное значение — или эффективный ток может быть выражен как

I _rms = I _eff

= I _max / (2) ^1/2

= 0.707 I _макс. (10)

где

I _{среднеквадратичное значение} = I _eff

= действующее значение тока (A)

= максимальный ток (амплитуда) источника синусоидального напряжения (A)

Вольтметры и амперметры переменного тока показывают среднеквадратичное значение напряжения или тока — или 0,707 максимальных пиковых значений. Максимальные пиковые значения равны 1.В 41 раз больше значений вольтметра.

Пример

• для системы 230 В U _СКЗ = 230 В и U _макс = 324 В
• для системы 120 В U _СКЗ = 120 В U _max = 169 В

Трехфазное напряжение переменного тока — от линии к линии и от линии к нейтрали

В трехфазной системе переменного тока напряжение может подаваться между линиями и нейтралью (фазный потенциал) или между линиями (линейный потенциал).Результирующие напряжения для двух общих систем — европейской системы 400/230 В и североамериканской системы 208/120 В указаны для одного периода на рисунках ниже.

400/230 В перем. Тока

распечатать 400/230 В трехфазная диаграмма

• L1, L2 и L3 — это три фазы, соединяющие потенциалы нейтрали — потенциалы фаз
• L1 — L2, L1 — L3 и L2 — L3 — это трехфазные линейные потенциалы — линейных потенциалов
• L2, L2 и L3 — результирующий потенциал трех фаз в симметричной цепи — результирующий потенциал = 0

Величина линейных потенциалов равна 3 ^1/2 (1.73) величина фазового потенциала.

U _{действующее значение, линия} = 1,73 U _{действующее значение, фаза} (11)

208 В / 120 В переменного тока

печать 208/120 В Трехфазная диаграмма

Мощность

Активный — или действительный, или истинный — мощность, которая выполняет фактическую работу в цепи — может быть рассчитана как

P = U _{действующее значение} I _{среднеквадратичное значение} cos φ (12)

где

P = активная активная мощность (Вт)

φ = фазовый угол между током и напряжением (рад, градусы)

Cos φ также называется коэффициентом мощности.

Реактивную мощность в цепи можно рассчитать как

Q = U _{действующее значение} I _{среднеквадратичное значение} sin φ (13)

Q = реактивная мощность (ВАР)

Активная, реактивная и полная мощность в Цепи переменного тока

Активная мощность:

Если активное сопротивление (например, нагревательный элемент) подключено к цепи переменного тока, результирующие напряжение и ток совпадают по фазе (синяя и красная кривые на схеме ниже).Умножение связанных пар мгновенных значений напряжения и тока дает мгновенную мощность (зеленая кривая).

Такая кривая мощности всегда положительна, потому что для активного сопротивления напряжение и ток всегда либо положительные, либо отрицательные. Положительная мощность передается от генератора к потребителю. Зеленые зоны отображают проделанную активную работу. Поскольку мощность имеет частоту в два раза превышающую частоту напряжения или тока, не может быть нанесен вместе с током и напряжением на нормальную векторную диаграмму.

Мощность переменного тока p ( t ) имеет пиковое значение p ₀ = u ₀ · i ₀ и может быть преобразовано путем приравнивания площадей под кривой в эквивалентную мощность постоянного тока , или активной мощности P . Активная мощность для активного сопротивления составляет половину пиковой мощности, т.е.

Другими словами:

Реактивная мощность:

Если чистое реактивное сопротивление, т. Е. Емкостное или индуктивное сопротивление, подключено к цепи переменного тока, смещение фаз j между током и напряжением составляет 90 °, ток опережает напряжение в случае емкости и отстает от напряжения в случай индуктивности (как показано на диаграмме ниже). Кривая мощности здесь симметрична относительно оси времени, так что положительная и отрицательная (серые) области компенсируют друг друга, и в целом активная мощность не потребляется.Отрицательные значения означают, что мощность возвращается от потребителя к генератору. В течение одного периода энергия дважды возвращается от катушки (потребителя) к генератору. Общая энергия постоянно колеблется между генератором и потребителем. Это приводит к чистому потреблению реактивной мощности индуктивного или емкостного характера в зависимости от используемого компонента. Реактивная мощность обозначается Q и выражается в единицах Var .

Полная мощность:

Если нагрузка, включающая компоненты активного и реактивного сопротивления, подключена к переменному напряжению, возникают компоненты активной и реактивной мощности.Схема ниже демонстрирует это в случае индуктивной нагрузки, ток и напряжение которой сдвинуты по фазе на 60 °. Кривая мощности здесь в основном расположена выше оси времени. Серые области частично компенсируют друг друга и представляют компонент реактивной мощности, а зеленые области представляют активную мощность (или выполненную активную работу).

Умножение измеренных значений напряжения и сдвинутого по фазе тока дает здесь полную мощность S , которая выражается в вольт-амперах (ВА):

Кажущаяся мощность — это , а не мера преобразования электрической энергии в цепи, вместо этого она служит просто вычисляемой переменной, состоящей из активной и реактивной мощности.Соответственно, активная мощность P , показанная измерителем мощности (ваттметром) при наличии фазового сдвига между током и напряжением, всегда меньше, чем кажущаяся мощность S , вычисленная на основе действующего значения тока и напряжения.

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК — прикладное промышленное электричество

Переменный ток

Большинство студентов, изучающих электричество, начинают свое изучение с так называемого постоянного тока (DC), то есть электричества, протекающего в постоянном направлении и / или обладающего напряжением с постоянной полярностью.Постоянный ток — это вид электричества, производимого батареей (с определенными положительными и отрицательными клеммами), или вид заряда, генерируемый при трении определенных типов материалов друг о друга.

Переменный ток против постоянного

Такой же полезный и простой для понимания, как постоянный ток, это не единственный используемый «вид» электричества. Определенные источники электричества (в первую очередь роторные электромеханические генераторы) естественным образом вырабатывают напряжения, меняющие полярность, меняя положительную и отрицательную на противоположные с течением времени.Либо как полярность переключения напряжения, либо как направление переключения тока вперед и назад, этот «вид» электричества известен как переменный ток (AC):

В то время как знакомый символ батареи используется как общий символ для любого источника постоянного напряжения, круг с волнистой линией внутри является общим символом для любого источника переменного напряжения.

Кто-то может задаться вопросом, зачем вообще возиться с такой вещью, как кондиционер. Верно, что в некоторых случаях переменный ток не имеет практического преимущества перед постоянным током.В приложениях, где электричество используется для рассеивания энергии в виде тепла, полярность или направление тока не имеют значения, пока на нагрузку подается достаточное напряжение и ток для получения желаемого тепла (рассеивание мощности). Однако с помощью переменного тока можно создавать электрические генераторы, двигатели и системы распределения энергии, которые намного более эффективны, чем постоянный ток, и поэтому мы обнаруживаем, что переменный ток используется преимущественно во всем мире в приложениях с большой мощностью. Чтобы объяснить подробности того, почему это так, необходимы некоторые базовые знания о AC.

Генераторы переменного тока

Если машина сконструирована так, чтобы вращать магнитное поле вокруг набора неподвижных катушек с проволокой с вращением вала, то в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея на катушках с проволокой будет создаваться переменное напряжение. Это основной принцип работы генератора переменного тока, также известного как генератор переменного тока :

Обратите внимание, как полярность напряжения на проволочных катушках меняется на противоположную по мере прохождения противоположных полюсов вращающегося магнита.При подключении к нагрузке эта реверсивная полярность напряжения создает реверсивное направление тока в цепи. Чем быстрее вращается вал генератора, тем быстрее будет вращаться магнит, что приведет к появлению переменного напряжения и тока, которые чаще меняют направление за заданный промежуток времени.

Хотя генераторы постоянного тока работают по тому же общему принципу электромагнитной индукции, их конструкция не так проста, как их аналоги переменного тока. В генераторе постоянного тока катушка с проводом установлена ​​на валу, где магнит находится на генераторе переменного тока, и электрические соединения с этой вращающейся катушкой выполняются через неподвижные угольные «щетки», контактирующие с медными полосками на вращающемся валу.Все это необходимо для переключения изменяющейся выходной полярности катушки на внешнюю цепь, чтобы внешняя цепь видела постоянную полярность:

. Показанный выше генератор выдает два импульса напряжения на один оборот вала, причем оба импульса имеют одинаковое направление (полярность). Чтобы генератор постоянного тока вырабатывал постоянное напряжение , а не короткие импульсы напряжения каждые 1/2 оборота, имеется несколько наборов катушек, периодически контактирующих с щетками.Схема, показанная выше, немного упрощена, чем то, что вы видите в реальной жизни.

Проблемы, связанные с замыканием и размыканием электрического контакта с движущейся катушкой, должны быть очевидны (искрение и нагрев), особенно если вал генератора вращается с высокой скоростью. Если атмосфера, окружающая машину, содержит легковоспламеняющиеся или взрывоопасные пары, практические проблемы искрообразования щеточных контактов еще больше. Генератор переменного тока (генератор переменного тока) не требует для работы щеток и коммутаторов, поэтому он невосприимчив к этим проблемам, с которыми сталкиваются генераторы постоянного тока.

Двигатели переменного тока

Преимущества переменного тока по сравнению с постоянным током с точки зрения конструкции генератора также отражены в электродвигателях. В то время как двигатели постоянного тока требуют использования щеток для электрического контакта с движущимися катушками проволоки, двигатели переменного тока этого не делают. Фактически, конструкции двигателей переменного и постоянного тока очень похожи на их аналоги-генераторы (идентичны для этого руководства), двигатель переменного тока зависит от реверсивного магнитного поля, создаваемого переменным током через его неподвижные катушки провода для вращения вращающегося магнита. вокруг его вала, а двигатель постоянного тока зависит от контактов щетки, замыкая и размыкая соединения, для обратного тока через вращающуюся катушку каждые 1/2 оборота (180 градусов).

Трансформаторы

Итак, мы знаем, что генераторы переменного тока и двигатели переменного тока обычно проще, чем генераторы постоянного тока и двигатели постоянного тока. Эта относительная простота означает большую надежность и более низкую стоимость производства. Но для чего еще нужен AC? Конечно, это должно быть что-то большее, чем детали конструкции генераторов и двигателей! Действительно есть. Существует эффект электромагнетизма, известный как взаимная индукция , , при котором две или более катушек провода размещены так, что изменяющееся магнитное поле, создаваемое одной, индуцирует напряжение в другой.Если у нас есть две взаимно индуктивные катушки, и мы запитываем одну катушку переменным током, мы создадим переменное напряжение в другой катушке. При использовании в таком виде это устройство известно как трансформатор :

Основное значение трансформатора — его способность повышать или понижать напряжение с катушки с питанием на катушку без питания. Напряжение переменного тока, индуцированное в обмотанной («вторичной») катушке, равно напряжению переменного тока на питаемой («первичной») катушке, умноженному на отношение витков вторичной катушки к виткам первичной катушки.Если вторичная обмотка питает нагрузку, ток через вторичную обмотку прямо противоположен: ток первичной обмотки умножается на соотношение первичных и вторичных витков. Эта взаимосвязь имеет очень близкую механическую аналогию, в которой крутящий момент и скорость используются для представления напряжения и тока соответственно:

Если передаточное число обмоток изменено так, что первичная обмотка имеет меньше витков, чем вторичная обмотка, трансформатор «увеличивает» напряжение от уровня источника до более высокого уровня на нагрузке:

Способность трансформатора с легкостью повышать или понижать переменное напряжение дает переменному току преимущество, не имеющее себе равных с постоянным током, в области распределения мощности на рисунке ниже. При передаче электроэнергии на большие расстояния гораздо эффективнее делать это с помощью повышенных напряжений и пониженных токов (провод меньшего диаметра с меньшими резистивными потерями мощности), затем понижать напряжение и повышать ток для промышленность, бизнес или потребительское использование.

Трансформаторная технология сделала возможным распределение электроэнергии на большие расстояния. Без возможности эффективно повышать и понижать напряжение было бы непомерно дорого строить энергосистемы для чего-либо, кроме использования на близком расстоянии (в пределах нескольких миль максимум).

Какими бы полезными ни были трансформаторы, они работают только с переменным током, а не с постоянным током. Поскольку явление взаимной индуктивности зависит от изменения магнитных полей , а постоянный ток (DC) может создавать только постоянные магнитные поля, трансформаторы просто не будут работать с постоянным током.Конечно, постоянный ток может прерываться (пульсировать) через первичную обмотку трансформатора для создания изменяющегося магнитного поля (как это делается в автомобильных системах зажигания для выработки питания высоковольтной свечи зажигания от низковольтной батареи постоянного тока), но Импульсный постоянный ток не так уж отличается от переменного тока. Возможно, именно поэтому переменный ток в большей степени, чем какая-либо другая причина, находит такое широкое применение в энергосистемах.

• DC означает «постоянный ток», что означает напряжение или ток, который сохраняет постоянную полярность или направление, соответственно, с течением времени.
• AC означает «переменный ток», что означает напряжение или ток, который со временем меняет полярность или направление, соответственно.
Электромеханические генераторы переменного тока
• , известные как генераторы переменного тока , имеют более простую конструкцию, чем электромеханические генераторы постоянного тока.
Конструкция двигателя
• переменного и постоянного тока очень точно соответствует принципам конструкции генератора.
• Трансформатор представляет собой пару взаимно индуктивных катушек, используемых для передачи мощности переменного тока от одной катушки к другой.Часто количество витков в каждой катушке устанавливается для создания увеличения или уменьшения напряжения от активной (первичной) катушки к обмотке без питания (вторичной).
• Вторичное напряжение = Первичное напряжение (вторичные витки / первичные витки)
• Вторичный ток = первичный ток (первичные витки / вторичные витки)

Измерения величины переменного тока

На данный момент мы знаем, что переменное напряжение меняется по полярности, а переменный ток — по направлению.Мы также знаем, что переменный ток может изменяться множеством различных способов, и, отслеживая изменение во времени, мы можем построить его как «форму волны». Мы можем измерить скорость чередования, измерив время, необходимое для развития волны, прежде чем она повторится («период»), и выразить это как количество циклов в единицу времени или «частоту». В музыке частота такая же, как pitch , что является важным свойством, отличающим одну ноту от другой.

Однако мы сталкиваемся с проблемой измерения, если пытаемся выразить, насколько велика или мала величина переменного тока.С постоянным током, где величины напряжения и тока обычно стабильны, у нас нет проблем с выражением того, сколько напряжения или тока у нас есть в любой части цепи. Но как дать единичное измерение величины чему-то, что постоянно меняется?

Способы выражения величины сигнала переменного тока

Один из способов выразить интенсивность или величину (также называемую амплитудой ) величины переменного тока — это измерить высоту его пика на графике формы сигнала.Это известно как значение пик или пик сигнала переменного тока:

Другой способ — измерить общую высоту между противоположными вершинами. Это известно как значение размаха (P-P) сигнала переменного тока:

К сожалению, любое из этих выражений амплитуды сигнала может вводить в заблуждение при сравнении двух разных типов волн. Например, прямоугольная волна с пиком 10 вольт, очевидно, представляет собой большее количество напряжения в течение большего времени, чем треугольная волна с пиком 10 вольт.Влияние этих двух напряжений переменного тока, питающих нагрузку, будет совершенно различным:

Один из способов выразить амплитуду различных форм волны более эквивалентным способом — это математически усреднить значения всех точек на графике формы волны до единого совокупного числа. Это измерение амплитуды известно просто как среднее значение сигнала.Если мы усредним все точки на осциллограмме алгебраически (то есть, чтобы считать их знак , положительным или отрицательным), среднее значение для большинства сигналов технически равно нулю, потому что все положительные точки нейтрализуют все отрицательные точки на протяжении полный цикл:

Это, конечно, будет верно для любой формы волны, имеющей участки равной площади выше и ниже «нулевой» линии графика. Однако, как практическая мера совокупного значения формы сигнала, «среднее» обычно определяется как математическое среднее абсолютных значений всех точек за цикл.Другими словами, мы вычисляем практическое среднее значение формы волны, рассматривая все точки на волне как положительные величины, как если бы форма волны выглядела так:

Нечувствительные к полярности движения механического счетчика (счетчики, рассчитанные на одинаковую реакцию на положительные и отрицательные полупериоды переменного напряжения или тока) регистрируются пропорционально (практическому) среднему значению формы сигнала, поскольку инерция стрелки по отношению к напряжению пружина естественным образом усредняет силу, создаваемую изменяющимися значениями напряжения / тока с течением времени.И наоборот, чувствительные к полярности движения измерителя бесполезно вибрируют при воздействии переменного напряжения или тока, их стрелки быстро колеблются около нулевой отметки, указывая истинное (алгебраическое) среднее значение нуля для симметричной формы волны. Когда в этом тексте упоминается «среднее» значение формы сигнала, предполагается, что подразумевается «практическое» определение среднего значения, если не указано иное.

Другой метод получения совокупного значения амплитуды сигнала основан на способности сигнала выполнять полезную работу при приложении к сопротивлению нагрузки.К сожалению, измерение переменного тока, основанное на работе, выполняемой осциллограммой, не совпадает со «средним» значением этой формы сигнала, потому что мощность , рассеиваемая данной нагрузкой (работа, выполняемая в единицу времени), не прямо пропорциональна величине ни того, ни другого. напряжение или ток, приложенные к нему. Напротив, мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока, приложенного к сопротивлению (P = E ² / R и P = I ² R). Хотя математика такого измерения амплитуды может быть непростой, польза от этого есть.

Рассмотрим ленточную пилу и лобзик, две части современного деревообрабатывающего оборудования. Пилы обоих типов режут дерево с помощью тонкого зубчатого металлического полотна с приводом от двигателя. Но в то время как ленточная пила использует непрерывное движение полотна для резки, лобзик использует возвратно-поступательное движение. Сравнение переменного тока (AC) с постоянным током (DC) можно сравнить со сравнением этих двух типов пил:

Проблема попытки описать изменяющиеся величины переменного напряжения или тока в одном совокупном измерении также присутствует в этой аналогии с пилой: как бы мы могли выразить скорость полотна лобзика? Полотно ленточной пилы движется с постоянной скоростью, подобно тому, как проталкивается постоянное напряжение или постоянный ток с постоянной величиной.С другой стороны, полотно лобзика движется вперед и назад, скорость его полотна постоянно меняется. Более того, возвратно-поступательное движение любых двух лобзиков может быть неодинаковым, в зависимости от механической конструкции пил. Один лобзик может двигать лезвие синусоидальным движением, а другой — треугольником. Оценка лобзика на основе его максимальной скорости вращения лезвия может ввести в заблуждение при сравнении одного лобзика с другим (или лобзика с ленточной пилой!). Несмотря на то, что эти разные пилы перемещают свои полотна по-разному, они равны в одном отношении: все они режут древесину, и количественное сравнение этой общей функции может служить общей основой для оценки скорости полотна.

Представьте себе лобзик и ленточную пилу бок о бок, оснащенные одинаковыми лезвиями (одинаковым шагом зубьев, углом и т. Д.), Одинаково способными резать одинаковую толщину одного и того же вида древесины с одинаковой скоростью. Можно сказать, что эти две пилы были эквивалентны или равны по своей режущей способности. Можно ли использовать это сравнение, чтобы приписать «эквивалентную» скорость полотна ленточной пилы возвратно-поступательному движению полотна лобзика; связать эффективность лесозаготовки одного с другим? Это общая идея, используемая для присвоения измерения «эквивалента постоянного тока» любому переменному напряжению или току: независимо от величины постоянного напряжения или тока, будет происходить такое же количество рассеяния тепловой энергии через равное сопротивление:

Как среднеквадратичное значение (СКЗ) связано с переменным током?

В двух схемах, приведенных выше, у нас одинаковое сопротивление нагрузки (2 Ом), рассеивающее одинаковое количество энергии в виде тепла (50 Вт), одна питается от переменного тока, а другая от постоянного тока. Поскольку изображенный выше источник переменного напряжения эквивалентен (с точки зрения мощности, подаваемой на нагрузку) 10-вольтовой батарее постоянного тока, мы бы назвали это «10-вольтовым» источником переменного тока. Более конкретно, мы бы обозначили его значение напряжения как 10 вольт RMS .Квалификатор «RMS» означает среднеквадратическое значение , алгоритм, используемый для получения значения эквивалента постоянного тока из точек на графике (по сути, процедура состоит из возведения в квадрат всех положительных и отрицательных точек на графике формы сигнала, усреднения этих квадратов значений. , а затем извлечение квадратного корня из этого среднего, чтобы получить окончательный ответ). Иногда вместо «среднеквадратичного значения» используются альтернативные термины эквивалент или эквивалент постоянного тока, но количество и принцип одинаковы.

RMS — лучший способ связать величины переменного тока с величинами постоянного тока или другими величинами переменного тока с различной формой волны при измерении электрической мощности. По другим соображениям лучше всего использовать измерения от пика до пика. Например, при определении правильного размера провода (допустимой нагрузки) для передачи электроэнергии от источника к нагрузке лучше всего использовать измерение среднеквадратичного тока, поскольку основная проблема с током — это перегрев провода, который является функцией рассеивание мощности, вызванное током через сопротивление провода.Однако при оценке изоляторов для работы в высоковольтных системах переменного тока измерения пикового напряжения являются наиболее подходящими, поскольку здесь основной проблемой является «пробой» изолятора, вызванный кратковременными скачками напряжения независимо от времени.

Приборы, используемые для измерения амплитуды сигнала

Измерения пиков и размаха лучше всего выполнять с помощью осциллографа, который может фиксировать пики формы сигнала с высокой степенью точности благодаря быстрому срабатыванию электронно-лучевой трубки в ответ на изменения напряжения.Для измерений RMS будут работать аналоговые измерительные устройства (D’Arsonval, Weston, железная лопасть, электродинамометр), если они были откалиброваны в значениях RMS. Поскольку механическая инерция и демпфирующие эффекты движения электромеханического измерителя делают отклонение стрелки естественным образом пропорциональным среднему значению переменного тока, а не истинному среднеквадратичному значению, аналоговые измерители должны быть специально откалиброваны (или откалиброваны неправильно, в зависимости от как вы на это смотрите), чтобы указать напряжение или ток в единицах RMS.Точность этой калибровки зависит от предполагаемой формы волны, обычно синусоидальной.

Электронные счетчики, специально разработанные для измерения среднеквадратичных значений, лучше всего подходят для этой задачи. Некоторые производители инструментов разработали хитроумные методы определения среднеквадратичного значения любой формы волны. Один из таких производителей производит измерители True-RMS с крошечным резистивным нагревательным элементом, питаемым напряжением, пропорциональным измеряемому. Эффект нагрева этого элемента сопротивления измеряется термически, чтобы получить истинное среднеквадратичное значение без каких-либо математических вычислений, только законы физики в действии в соответствии с определением среднеквадратичного значения.Точность этого типа измерения RMS не зависит от формы волны.

Взаимосвязь пика, размаха, среднего и среднеквадратичного значения

Для «чистых» сигналов существуют простые коэффициенты преобразования для приравнивания значений пикового, разностного, среднего (практического, а не алгебраического) и среднеквадратичного значений друг к другу:

В дополнение к измерениям RMS, среднего, пика (пика) и размаха сигнала переменного тока существуют соотношения, выражающие пропорциональность между некоторыми из этих основных измерений.Пик-фактор сигнала переменного тока, например, представляет собой отношение его пикового (пикового) значения, деленного на его среднеквадратичное значение. Форм-фактор сигнала переменного тока представляет собой отношение его среднеквадратичного значения к его среднему значению. Сигналы прямоугольной формы всегда имеют пик и коэффициент формы, равные 1, поскольку пик такой же, как среднеквадратичное и среднее значения. Синусоидальные сигналы имеют среднеквадратичное значение 0,707 (величина, обратная квадратному корню из 2) и форм-фактор 1,11 (0,707 / 0,636). Сигналы треугольной и пилообразной формы имеют среднеквадратичное значение 0.577 (величина, обратная квадратному корню из 3) и форм-фактор 1,15 (0,577 / 0,5).

Имейте в виду, что константы преобразования, показанные здесь для пиковых, среднеквадратичных и средних амплитуд синусоидальных, прямоугольных и треугольных волн, справедливы только для чистых форм этих форм волны. Среднеквадратичные и средние значения искаженных форм волн не связаны одним и тем же соотношением:

Это очень важная концепция, которую необходимо понимать при использовании аналогового движения измерителя Д’Арсонваля для измерения переменного напряжения или тока.Аналоговый механизм Д’Арсонваля, откалиброванный для индикации среднеквадратичной амплитуды синусоидальной волны, будет точным только при измерении чистых синусоидальных волн. Если форма сигнала измеряемого напряжения или тока не является чистой синусоидой, показание измерителя не будет истинным среднеквадратичным значением формы сигнала, потому что степень отклонения стрелки в аналоговом перемещении измерителя Д’Арсонваля равна пропорционально среднему значению сигнала, а не среднеквадратичному значению. Калибровка измерителя RMS получается путем «перекоса» диапазона измерителя так, чтобы он отображал небольшое кратное среднему значению, которое будет равно среднеквадратичному значению для определенной формы волны, а — только для конкретной формы волны.

Поскольку форма синусоидальной волны является наиболее распространенной в электрических измерениях, она является формой волны, принятой для калибровки аналогового измерителя, а малое кратное, используемое при калибровке измерителя, составляет 1,1107 (форм-фактор: 0,707 / 0,636: отношение среднеквадратичных значений деленное на среднее значение для синусоидального сигнала). Любая форма волны, кроме чистой синусоидальной волны, будет иметь другое соотношение среднеквадратичных и средних значений, и, таким образом, измеритель, откалиброванный для синусоидального напряжения или тока, не будет показывать истинное среднеквадратичное значение при считывании несинусоидальной волны.Имейте в виду, что это ограничение применяется только к простым аналоговым измерителям переменного тока, не использующим технологию True-RMS.

• Амплитуда сигнала переменного тока — это его высота, изображенная на графике во времени. Измерение амплитуды может принимать форму пика, размаха, среднего или среднеквадратичного значения.
• Пиковая амплитуда — это высота сигнала переменного тока, измеренная от нулевой отметки до наивысшей положительной или самой низкой отрицательной точки на графике.Также известен как гребень , амплитуда волны.
• Полная амплитуда — это общая высота сигнала переменного тока, измеренная от максимальных положительных до максимальных отрицательных пиков на графике. Часто обозначается как «П-П».
• Средняя амплитуда — это математическое «среднее» всех точек сигнала за период одного цикла. Технически, средняя амплитуда любой формы волны с участками равной площади выше и ниже «нулевой» линии на графике равна нулю.Однако в качестве практической меры амплитуды среднее значение сигнала часто вычисляется как математическое среднее абсолютных значений всех точек (принимая все отрицательные значения и считая их положительными). Для синусоиды среднее значение, вычисленное таким образом, составляет примерно 0,637 от его пикового значения.
• «RMS» означает среднеквадратическое значение и является способом выражения величины переменного напряжения или тока в терминах, функционально эквивалентных постоянному току. Например, среднеквадратичное значение 10 вольт переменного тока — это величина напряжения, при которой через резистор заданного значения рассеивается такое же количество тепла, что и при источнике питания постоянного тока на 10 вольт.Также известен как «эквивалент» или «эквивалент постоянного тока» для переменного напряжения или тока. Для синусоидальной волны среднеквадратичное значение составляет примерно 0,707 от его пикового значения.
• Пик-фактор сигнала переменного тока — это отношение его пика (пика) к его среднеквадратичному значению.
• Форм-фактор сигнала переменного тока — это отношение его среднеквадратичного значения к его среднему значению.
• Аналоговые, электромеханические движения счетчика реагируют пропорционально среднему значению переменного напряжения или тока.Когда требуется индикация среднеквадратичного значения, калибровка измерителя должна быть соответственно «искажена». Это означает, что точность показаний RMS электромеханического измерителя зависит от чистоты формы волны: от того, точно ли она совпадает с формой волны, используемой при калибровке.

На рисунке выше изображена очень простая цепь переменного тока. Если бы рассеиваемая мощность нагрузочного резистора была значительной, мы могли бы назвать это «цепью питания» или «системой питания», а не рассматривать ее как обычную цепь.Различие между «силовой цепью» и «обычной цепью» может показаться произвольным, но с практической точки зрения это определенно не так.

Практический анализ цепей

Одной из таких проблем является размер и стоимость проводки, необходимой для подачи питания от источника переменного тока к нагрузке. Обычно мы не особо задумываемся об этом, если мы просто анализируем цепь ради изучения законов электричества. Однако в реальном мире это может стать серьезной проблемой.Если мы дадим источнику в приведенной выше схеме значение напряжения, а также дадим значения рассеиваемой мощности для двух нагрузочных резисторов, мы сможем определить потребности в проводке для этой конкретной схемы:

С практической точки зрения, проводка для нагрузок 20 кВт при 120 В перем. Тока довольно значительна (167 А).

[латекс] I = \ frac {P} {E} [/ латекс]

[латекс] I = \ frac {10 кВт} {120 В} [/ латекс]

[латекс] I = 83,33A \ text {(для каждого нагрузочного резистора)} [/ латекс]

[латекс] I_ {total} = I_ \ text {load # 1} + I_ \ text {load # 2} [/ latex]

[латекс] P_ {total} = (10 кВт) + (10 кВт) [/ латекс]

[латекс] I_ {total} = (83.33 A) + (83,33 A) [/ латекс]

[латекс] P_ {total} = (20 кВт) [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I_ {total} = 166,67 A} [/ латекс]

Из приведенного выше примера 83,33 ампера для каждого нагрузочного резистора на рисунке выше в сумме дают 166,66 ампера полного тока цепи. Это немалое количество тока, и для него потребуются медные проводники сечением не менее 1/0 калибра. Такая проволока имеет диаметр более 1/4 дюйма (6 мм) и весит более 300 фунтов на тысячу футов.Учтите, что медь тоже не дешевая! В наших интересах найти способы минимизировать такие затраты, если мы проектируем энергосистему с проводами большой длины.

Один из способов сделать это — увеличить напряжение источника питания и использовать нагрузки, рассчитанные на рассеивание 10 кВт каждая при этом более высоком напряжении. Нагрузки, конечно, должны иметь более высокие значения сопротивления, чтобы рассеивать ту же мощность, что и раньше (по 10 кВт каждая) при более высоком напряжении, чем раньше. Преимущество будет заключаться в меньшем потреблении тока, что позволяет использовать меньший, более легкий и дешевый провод:

[латекс] I = \ frac {P} {E} [/ латекс]

[латекс] I = \ frac {10кВт} {240V} [/ латекс]

[латекс] I = 41.67 A \ text {(для каждого нагрузочного резистора)} [/ latex]

[латекс] I_ {total} = I_ \ text {load # 1} + I_ \ text {load # 2} [/ latex]

[латекс] P_ {total} = (10 кВт) + (10 кВт) [/ латекс]

[латекс] I_ {total} = (41,67 A) + (41,67 A) [/ латекс]

[латекс] P_ {total} = (20 кВт) [/ латекс]

[латекс] \ pmb {I_ {total} = 83,33 A} [/ латекс]

Теперь у нашего общий ток цепи равен 83.33 ампера, вдвое меньше, чем было раньше. Теперь мы можем использовать проволоку калибра 4, которая весит меньше половины того, что проволока калибра 1/0 на единицу длины. Это значительное снижение стоимости системы без снижения производительности. Вот почему разработчики систем распределения электроэнергии предпочитают передавать электроэнергию с использованием очень высоких напряжений (многие тысячи вольт): чтобы извлечь выгоду из экономии за счет использования меньшего, более легкого и более дешевого провода.

Опасности повышения напряжения источника

Однако это решение не лишено недостатков.Еще одна практическая проблема с силовыми цепями — опасность поражения электрическим током от высокого напряжения. Опять же, обычно это не то, на чем мы сосредотачиваемся при изучении законов электричества, но это очень серьезная проблема в реальном мире, особенно когда имеют дело с большими объемами энергии. Повышение эффективности, достигаемое за счет увеличения напряжения в цепи, представляет повышенную опасность поражения электрическим током. Электрораспределительные компании решают эту проблему, протягивая свои линии электропередач вдоль высоких опор или башен и изолируя линии от несущих конструкций с помощью больших фарфоровых изоляторов.

В точке использования (потребителя электроэнергии) все еще остается вопрос, какое напряжение использовать для питания нагрузок. Высокое напряжение обеспечивает большую эффективность системы за счет уменьшения тока в проводнике, но не всегда целесообразно держать силовую проводку вне досягаемости в точке использования, как это можно сделать в распределительных системах. Этим компромиссом между эффективностью и опасностью разработчики европейских энергосистем решили рискнуть, поскольку все их домашние хозяйства и бытовая техника работают при номинальном напряжении 240 вольт вместо 120 вольт, как в Северной Америке.Вот почему туристы из Америки, посещающие Европу, должны носить с собой небольшие понижающие трансформаторы для своих портативных приборов, чтобы понижать мощность 240 В переменного тока (вольт переменного тока) до более подходящих 120 В переменного тока.

Решения для подачи напряжения потребителям

Есть ли способ одновременно реализовать преимущества повышения эффективности и снижения угрозы безопасности? Одним из решений может быть установка понижающих трансформаторов в конечной точке энергопотребления, как это должен делать американский турист, находясь в Европе.Однако это было бы дорого и неудобно для чего угодно, кроме очень малых нагрузок (где трансформаторы можно построить дешево) или очень больших нагрузок (где стоимость толстых медных проводов превысила бы стоимость трансформатора).

Альтернативным решением может быть использование источника более высокого напряжения для подачи питания на две последовательно соединенные нагрузки с более низким напряжением. Этот подход сочетает в себе эффективность высоковольтной системы с безопасностью низковольтной системы:

Обратите внимание на обозначения полярности (+ и -) для каждого показанного напряжения, а также на однонаправленные стрелки для тока. По большей части я избегал обозначать «полярности» в цепях переменного тока, которые мы анализировали, даже несмотря на то, что обозначения действительны для обеспечения системы отсчета для фазы. В следующих разделах этой главы фазовые отношения станут очень важными, поэтому я введу эти обозначения в начале главы для вашего ознакомления.

Ток через каждую нагрузку такой же, как и в простой 120-вольтовой цепи, но токи не складываются, потому что нагрузки включены последовательно, а не параллельно. Напряжение на каждой нагрузке составляет всего 120 вольт, а не 240, поэтому запас прочности выше. Имейте в виду, что у нас все еще есть полные 240 вольт на проводах системы питания, но каждая нагрузка работает при пониженном напряжении. Если кто-то и будет шокирован, скорее всего, это произойдет из-за контакта с проводниками конкретной нагрузки, а не из-за контакта с основными проводами энергосистемы.

Модификации конструкции с двумя сериями нагрузок

У этой конструкции есть только один недостаток: последствия отказа одной нагрузки разомкнутой или выключенной (при условии, что каждая нагрузка имеет последовательный переключатель включения / выключения для прерывания тока) не благоприятны. В случае последовательной цепи, если бы одна из нагрузок разомкнулась, ток остановился бы и в другой нагрузке. По этой причине нам необходимо немного изменить дизайн:

Двухфазная система питания

Вместо одного источника питания на 240 вольт мы используем два источника питания на 120 вольт (в фазе друг с другом!) Последовательно для получения 240 вольт, затем подводим третий провод к точке соединения между нагрузками, чтобы справиться с возможностью одного загрузочное отверстие.Это называется энергосистемой с расщепленной фазой . Три провода меньшего размера по-прежнему дешевле, чем два провода, необходимые для простой параллельной конструкции, поэтому мы все еще впереди по эффективности. Проницательный наблюдатель заметит, что нейтральный провод должен передавать только разность тока между двумя нагрузками обратно к источнику. В приведенном выше случае при идеально «сбалансированных» нагрузках, потребляющих одинаковое количество энергии, нейтральный провод пропускает нулевой ток.

Обратите внимание на то, как нейтральный провод подключен к заземлению со стороны источника питания.Это обычная особенность в энергосистемах, содержащих «нейтральные» провода, поскольку заземление нейтрального провода обеспечивает минимально возможное напряжение в любой момент времени между любым «горячим» проводом и заземлением.

Важным компонентом системы с расщепленной фазой является двойной источник переменного напряжения. К счастью, спроектировать и построить его нетрудно. Поскольку большинство систем переменного тока в любом случае получают питание от понижающего трансформатора (понижая напряжение с высоких уровней распределения до напряжения пользовательского уровня, такого как 120 или 240), этот трансформатор может быть построен с вторичной обмоткой с центральным отводом: